2008 VI: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 10. Februar 2010, 22:05 Uhr

Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2008 Geometrie VI

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Lösungen erstellt von: Sara Schirmer und Melissa Gehrig

Aufgabe 1

In einem kartesischen Koordinatensystem des IR³ sind die Punkte M(−2 | 4 |1), S(6 | 8 | 9), P(4 | −8 |1) sowie die Gerade g : $\vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + \lambda\begin{pmatrix} -1 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$ , λ ∈ IR gegeben. Die Strecke [MS] ist die Höhe eines geraden Kreiskegels. Sein Grundkreis k um den Punkt M hat den Radius $6\sqrt{5}$ und liegt in der Ebene E.

a) Ermitteln Sie eine Gleichung der Ebene E in Normalenform und zeigen Sie, dass der Punkt P auf dem Grundkreis k liegt.
[Zur Kontrolle: E : 2x1 + x2 + 2x3 − 2 = 0]

5 BE

1.Lösung Ebene erstellen

2.Lösung Ebene erstellen

b) Zeigen Sie, dass die Gerade g in der Ebene E liegt, und bestimmen Sie die Koordinaten der Schnittpunkte R und T von g und k. (Der Punkt mit positiver x1-Koordinate wird mit R bezeichnet.)
[Teilergebnis: R(8 | 0 | −7), T(−10 | 0 |11)]

7 BE

Bestimmung der Schnittpunkte

1. Lösung: g in k

2. Lösung: allgemeiner Geradenpunkt

c) Die Gerade g teilt den Grundkreis k in einen kurzen und einen langen Kreisbogen. Berechnen Sie den Winkel ϕ, den die Vektoren $\vec PR$ und $\vec PT$ einschließen, und geben Sie an, auf welchem der beiden Bögen der Punkt P liegt. Begründen Sie Ihre Antwort.

6 BE

Aufgabe 2

a) Die Spiegelung der Geraden g an M ergibt die Gerade g'. Ermitteln Sie die Koordinaten der Schnittpunkte von g' mit k.
[Teilergebnis: (−12 | 8 | 9) ]

4 BE

Tipp anzeigen

1. Lösung

2. Lösung

b) Begründen Sie ohne Rechnung, dass die Punkte, in denen die Geraden g und g' den Kreis k schneiden, ein Rechteck bilden.

3 BE

c) Das Rechteck aus Teilaufgabe 2b bestimmt zusammen mit dem Punkt S eine Pyramide. Wie viel Prozent des Kegelvolumens füllt diese Pyramide aus?

7 BE

Aufgabe 3

Die Spitze S des Kegels wird geradlinig mit dem in der Ebene E liegenden Punkt Q(2 | −20 | 9) verbunden. Auf der Strecke [SQ] bewegt sich der Mittelpunkt einer Kugel mit Radius 3 auf die Ebene E zu. Berechnen Sie die Koordinaten des Punktes B, in dem die Kugel die Ebene E berührt.

8 BE

Tipp anzeigen

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 [[Bild:ABI_2008_VI_1a_Lös.jpg|500px]]
-;Bemerkung:
- Da der Kreis in der Ebene liegt, genügt es die Länge [MP] zu überprüfen.
- Der Nachweis, dass P in der Ebene liegt, ist nicht mehr nötig.
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