Extremwerte: Unterschied zwischen den Versionen
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− | ''Maxima und Minima sind Punkte auf einer Funktion, die in ihrem im Umkreis die höchsten beziehungsweise tiefsten Punkte auf dem Graphen sind. Um diese Extremwerte einer Funktion zu errechnen, wird die erste Ableitung benötigt.'' | + | ''Maxima und Minima sind Punkte auf einer Funktion, die in ihrem im Umkreis die höchsten beziehungsweise tiefsten Punkte auf dem Graphen sind. An den Extrempunkten besitzt die Funktion eine waagrechte Tangente, dass heißt, die Steigung ist Null. |
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+ | :Um diese Extremwerte einer Funktion zu errechnen, wird die erste Ableitung benötigt.'' | ||
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− | :Die allgemeine Ableitungsregel ist: '''<math>f (x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n * x</math><sup>n-1</sup>''' | + | :Die allgemeine Ableitungsregel ist: '''<math>f (x) = x^n \Rightarrow f'(x) = n * x</math><sup>n-1</sup>''' |
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+ | :<u>Tipp:</u> | ||
+ | :Zum nachlesen, wie du die Ableitung bilden kannst, findest du [http://www.matheprisma.de/Module/Ableitung/index.htm hier] nochmal einen nützlichen Lernpfad. | ||
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− | :<u>Zur Bestimmung der Koordinaten der Extremwerte:</u> | + | :<u>Zur Bestimmung der Koordinaten der möglichen Extremwerte:</u> |
:* Man setzt f '(t) = 0, | :* Man setzt f '(t) = 0, | ||
:* erhält eine quadratische Gleichung, | :* erhält eine quadratische Gleichung, | ||
− | :* löst diese mit der | + | :* löst diese mit der Lösungsformel für quadratische Gleichungen, |
− | :* und setzt die erhaltenen t - Werte in die Funktion ein und erhält somit die y - Koordinaten der Extremwerte E<sub>1</sub> und E<sub>2</sub>. | + | :* und setzt die erhaltenen t - Werte in die Funktion ein und erhält somit die y - Koordinaten der möglichen Extremwerte E<sub>1</sub> und E<sub>2</sub>. |
− | ::''<span style="color: darkblue">Errechne nun die Koordinaten | + | ::''<span style="color: darkblue">Errechne nun die Koordinaten an denen es eine waagrechte Tangente gibt.</span> |
::{{Lösung versteckt|1= | ::{{Lösung versteckt|1= | ||
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− | ''Man hat nun die | + | |
+ | ''Man hat nun die Werte in Abhängigkeit von a ermittelt, an denen die Funktion eine waagrechte Tangente besitzt. Um nun zu prüfen, ob es sich dabei um einen Extrempunkt handelt und welche Art dieses Extrema ist, Maximum oder Minimum, kann man hier anhand verschiedener Lösungen vorgehen.'' | ||
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− | :<u>'''Lösung 1:''' ''Krümmungsverhalten | + | :<u>'''Lösung 1:''' ''Krümmungsverhalten''</u> |
:* Man bestimmt die zweite Ableitung, | :* Man bestimmt die zweite Ableitung, | ||
− | :* setzt die t - Werte | + | :* setzt die errechneten t - Werte ein |
− | :* und überprüft, ob f ' ' (t | + | :* und überprüft, ob f ' ' (t) |
::* <nowiki> < </nowiki> 0 <math>\rightarrow</math> Rechtskrümmung bzw Rechtskurve | ::* <nowiki> < </nowiki> 0 <math>\rightarrow</math> Rechtskrümmung bzw Rechtskurve | ||
::<math>\Rightarrow</math> relatives Maximum | ::<math>\Rightarrow</math> relatives Maximum | ||
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::<math>\Rightarrow</math> relatives Minimum | ::<math>\Rightarrow</math> relatives Minimum | ||
− | ::Wäre die zweite Ableitung ''gleich Null'', handelt es sich bei dem Extremwert um einen ''Terassenpunkt'', dass heißt, dass die Steigung der Funktion ''keinen Vorzeichenwechsel an dieser Stelle'' hat. | + | ::Wäre die zweite Ableitung ''gleich Null'', handelt es sich bei dem Extremwert um einen ''Terassenpunkt'', dass heißt, dass die Steigung der Funktion ''keinen Vorzeichenwechsel an dieser Stelle'' hat, aber jedoch eine waagrechte Tangente. |
− | ::''<span style="color: darkblue">Gib mit dieser Lösungsmöglichkeit die Art der Extremwerte | + | ::''<span style="color: darkblue">Gib mit dieser Lösungsmöglichkeit die Art der Extremwerte.</span> |
::{{Lösung versteckt|1= | ::{{Lösung versteckt|1= | ||
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:<u>'''Lösung 2:''' ''h - Methode''</u> | :<u>'''Lösung 2:''' ''h - Methode''</u> | ||
− | :''Mit Hilfe der h - Methode untersucht man, wie sich der Graph "ein Stückchen links und ein Stückchen rechts" | + | :''Mit Hilfe der h - Methode untersucht man, wie sich der Graph "ein Stückchen links und ein Stückchen rechts" der waagrechten Tangente verhält.'' |
:Dazu nimmt man die erste Ableitung, | :Dazu nimmt man die erste Ableitung, | ||
:* setzt <math> \lim_{h\to0} f '(t_0 - h)</math> | :* setzt <math> \lim_{h\to0} f '(t_0 - h)</math> | ||
:* und <math> \lim_{h\to0} f '( t_0 + h)</math> ein. | :* und <math> \lim_{h\to0} f '( t_0 + h)</math> ein. | ||
− | :Dadurch erhält man das Verhalten der Steigung von G<sub>f</sub> "ein Stückchen links und ein Stückchen rechts" vom Extremwert. | + | :Dadurch erhält man das Verhalten der Steigung von G<sub>f</sub> "ein Stückchen links und ein Stückchen rechts" vom möglichen Extremwert. |
::<span style="color: darkblue">Versuche auch, mit Hilfe der h - Methode, die Art der Extrempunkte zu bestimmen.</span> | ::<span style="color: darkblue">Versuche auch, mit Hilfe der h - Methode, die Art der Extrempunkte zu bestimmen.</span> | ||
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− | :Man schreibt die Ableitung nicht als Summen, sondern als Produkte. Dies ist möglich, da man bereits die Nullstellen der Ableitungsfunktion errechnet hat. Die Ableitungsfunktion kann | + | :Man schreibt die Ableitung nicht als Summen, sondern als Produkte. Dies ist möglich, da man bereits die Nullstellen der Ableitungsfunktion errechnet hat. Die Ableitungsfunktion kann auch als |
::<math>f '(t)= \left( x - t_1 \right) * \left( x - t_2 \right)</math>, | ::<math>f '(t)= \left( x - t_1 \right) * \left( x - t_2 \right)</math>, | ||
− | :geschrieben werden. Hier sind die Werte t<sub>1</sub> und t<sub>2</sub> die t - Werte | + | :geschrieben werden. Hier sind die Werte t<sub>1</sub> und t<sub>2</sub> die errechneten t - Werte, bei welcher die erste Ableitung Null wird. |
− | : | + | :Man stellt eine Vorzeichentabelle für jeden Faktor auf und erhält durch multiplizieren der Vorzeichen das Monotonieverhalten und dadurch die Arten der Extremwerte. |
::<span style="color: darkblue">Erstelle mit Hilfe des umgeformten Ableitungsproduktes eine Vorzeichentabelle und vergleiche sie mit dem rechts gezeigten Monotonieverhalten.</span> | ::<span style="color: darkblue">Erstelle mit Hilfe des umgeformten Ableitungsproduktes eine Vorzeichentabelle und vergleiche sie mit dem rechts gezeigten Monotonieverhalten.</span> |
Version vom 23. Januar 2010, 20:37 Uhr
Aufgabe: Extremwerte
Es soll, in Abhängigkeit von a, ermittelt werden, zu welchen Zeitpunkten t ein relatives Maximum bzw. Minimum vorliegt. Diese Funktionswerte sollen berechnet werden.
Maxima und Minima sind Punkte auf einer Funktion, die in ihrem im Umkreis die höchsten beziehungsweise tiefsten Punkte auf dem Graphen sind. An den Extrempunkten besitzt die Funktion eine waagrechte Tangente, dass heißt, die Steigung ist Null.
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Man hat nun die Werte in Abhängigkeit von a ermittelt, an denen die Funktion eine waagrechte Tangente besitzt. Um nun zu prüfen, ob es sich dabei um einen Extrempunkt handelt und welche Art dieses Extrema ist, Maximum oder Minimum, kann man hier anhand verschiedener Lösungen vorgehen.
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- Lösung 3: Vorzeichentabelle
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