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| − | === Wendepunkte ===
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| − | Zweite Ableitung siehe: Überprüfung des Extrempunkts; 2. Möglichkeit
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| − | f<sub>a</sub><sup>''</sup> (x) = e<sup>a + 2 - x </sup> ( x - a - 2 )
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| − | Um mögl. Wendepunkte zu bestimmen benötigt man die zweite Ableitung
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| − | Mögl. Wendepunkte tretten für f<sub>a</sub><sup>''</sup> (x) = 0 auf.
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| − | f<sub>a</sub><sup>''</sup> (x) = 0
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| − | e<sup>a + 2 - x </sup> ( x - a - 2 ) = 0 / e<sup>a + 2 - x </sup> > 0
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| − | --> ( x - a - 2 ) = 0 / + 2 ; + a
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| − | x = a + 2
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| − | Möglicher Wendepunkt bei x = a + 2
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| − | f<sub>a</sub> ( a + 2 ) = ( a + 2 - a ) e<sup>a + 2 - (a + 2 )</sup>
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| − | = 2 e<sup>a + 2 - a - 2 )</sup>
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| − | = 2 e^0
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| − | = 2
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| − | mög. WP ( a + 2 / 2 )
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| − | ==== Überprüfung des Wendepunkts ====
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| − | 1. Möglichkeit
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| − | H-Methode , VZW des Krümmungsverhaltens
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| − | f<sub>a</sub><sup>''</sup> ( a + 2 + - h ) = e<sup>a + 2 - (a + 2 - h )</sup> ( a + 2 - h - a - 2 )
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| − | = e<sup>a + 2 - a - 2 + h )</sup> ( -h )
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| − | = e^h ( -h )
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| − | = -h e^h
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| − | lim h --> 0 ............
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| − |
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| − | f<sub>a</sub><sup>''</sup> ( a + 2 + + h ) = e<sup>a + 2 - (a + 2 + h )</sup> ( a + 2 + h - a - 2 )
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| − | = e<sup>a + 2 - a - 2 - h )</sup> ( h )
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| − | = e^h ( h )
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| − | = h e^h
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| − |
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| − | lim h --> 0 ............
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| − | --> VZW bei x = a + 2<br />
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| − | --> Wendepunkt bei ( a + 2 / 2 )
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| − | <u>zur Verdeutlichung</u>
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| − | {| class="wikitable centersortable"
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| − | |+ Krümmungsverhalten
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| − | |- style="background: #DDFFDD;"
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| − | !
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| − | ! x<2+a
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| − | !
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| − | ! x=2+a
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| − | !
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| − | ! x>2+a
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| − | |-
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| − | ! style="background: #FFDDDD;"|e<sup>a + 2 - x</sup>
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| − | |
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| − | | +
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| − | |
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| − | | +
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| − | |
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| − | |-
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| − | ! style="background: #FFDDDD;"|
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| − | |
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| − | |-
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| − | ! style="background: #FFDDDD;"|( x - a - 2 )
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| − | | -
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| − | |
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| − | | +
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| − | |
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| − | |-
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| − | ! style="background: #FFDDDD;"|
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| − | |
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| − | |
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| − | |-
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| − | ! style="background: #FFDDDD;"|f<sub>a</sub><sup>''</sup> ( x )
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| − | | -
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| − | |
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| − | | +
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| − | |}
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| − | --> WP ( a + 2 / 2 )
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| − | 2. Möglichkeit
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| − | Verwendung der dritten Ableitung
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| − | f<sub>a</sub> (x) = ( x - a ) e<sup>a + 2 - x</sup>
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| − | f<sub>a</sub><sup>'</sup> (x) = e<sup>a + 2 - x </sup> ( 1 + a - x )
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| − | f<sub>a</sub><sup>''</sup> (x) = e<sup>a + 2 - x </sup> ( x - a - 2 )
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| − | Um die dritte Ableitung zu bekommen muss man hier die Produktregel verwenden.
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| − | [[http://de.wikipedia.org/wiki/Produktregel Hilfe zur Produktregel]]
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| − | f<sub>a</sub><sup>'''</sup> (x) = e<sup>a + 2 - x </sup> ( x - a - 2 ) (-1) + 1 e<sup>a + 2 - x </sup>
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| − | = e<sup>a + 2 - x </sup> ( a + 2 - x + 1 )
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| − | = ( a + 3 - x ) e<sup>a + 2 - x </sup>
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| − | Wenn die dritte Ableitung am möglichen Wendepunkt ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor.
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| − | f<sub>a</sub><sup>'''</sup> ( a + 2 ) = ( a + 3 - ( a + 2 )) e<sup>a + 2 - ( a + 2 ) </sup>
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| − | = ( a + 3 - a - 2 ) e<sup>a + 2 - a - 2 ) </sup>
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| − | = 1 e^0
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| − | = 1
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| − | > 0
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| − | --> WP ( a + 2 / 2 )
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mit 
; 
