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| − | == lokal Extrempunkte ==
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| − | Damit man Extrempunkte einer Funktion finden kann braucht man ihre erste Ableitung
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| − | <math>y = f_a (x) = ( x - a )\cdot ^{a+2-x}</math>
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| − | Um die erste Ableitung zu bekommen muss man hier die Produktregel verwenden
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| − | [[http://de.wikipedia.org/wiki/Produktregel Hilfe zur Produktregel]]
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| − | <math> f_a^{'}(x) = ( x - a )\cdot e^{a+2-x}\cdot( -1 ) + 1\cdot e^{a+2-x}</math><br />
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| − | <math>= e^{a+2-x}\cdot (( x - a )\cdot (-1) + 1 )</math><br />
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| − | <math> = e^{a+2-x}\cdot ( -x + a + 1 )</math><br />
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| − | <math>= e^{a+2-x}\cdot ( 1 + a - x )</math><br />
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| − | Der/Die Extrempunkt/e können an der Stelle liegen, an der die erste Ableitung der Funktion gliech Null ist. Die erste Ableitung einer Funktion zeigt das Steigungsverhalten dieser an. Wenn dieses gleich Null ist, besitzt die Funktion eine waagrechte Tangent an dieser Stelle.
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| − | Dass heißt es könnte ein Extrempunkt(Maximum<u>^</u>Hochpunkt und/oder Minimum <u>^</u> Tiefpunkt)auftreten.Dies muss jedoch erst mit der zweiten Ableitung oder mit dem Monotonieverhalten der Funktion überprüft werden, da auch ein Terassenpunktauftreten könnte.
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| − | <math> f_a^{'}(x) = 0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; |e^{a+2-x} > 0 </math><br />
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| − | <math>( 1 + a - x ) = 0 \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; |- 1 ; - a</math> <br />
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| − | <math>-x = -1 + a \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\ |\cdot (-1)</math><br />
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| − | <math>x = 1 + a \;</math><br />
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| − | <math> y = f_a ( 1 + a ) = ( 1 + a - a )\cdot e^{a + 2 - ( 1 + a )}</math> <br />
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| − | <math> = 1\cdot e^{a + 2 - 1 - a )}</math> <br />
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| − | <math> = 1\cdot e^1 </math><br />
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| − | <math> = e \;</math><br />
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| − | Möglicher Extrempunkt ( 1 + a / e )
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| − | === Überprüfung des Extrempunkts ===
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| − | ==== 1. Möglichkeit ====
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| − | H-Methode<br />
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| − | Vorzeichenwechsel (VZW) des Monotonieverhaltens der Funktion
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| − | <math>f_a^{'}( 1 + a + h ) = ( 1 + a -( 1 + a + h )\cdot e{a + 2 - ( 1 + a + h)}</math><br />
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| − | <math>= ( 1 + a - 1 - a - h )\cdot e^{a + 2 - 1 - a - h}</math> <br />
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| − | <math>= e^{1 - h}\cdot ( -h )</math><br />
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| − | <math>= -h\cdot e^{1 - h}</math><br />
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| − | <math>\lim_{h\to 0} f_a^{'} ( 1 + a + h ) < 0 </math><br />
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| − | <math>\rightarrow</math> An der Stelle f<sub>a</sub><sup>'</sup> ( 1 + a + h ) fällt der Graph
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| − | f<sub>a</sub><sup>'</sup> ( 1 + a - h ) = ( 1 + a -( 1 + a - h ) e<sup>a + 2 - ( 1 + a - h)</sup>
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| − | = ( 1 + a - 1 - a + h ) e<sup>a + 2 - 1 - a + h</sup>
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| − | = e<sup>1 + h</sup> ( +h )
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| − | = +h e<sup>1 + h</sup>
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| − | <math>\lim_{h\to\0} </math> f<sub>a</sub><sup>'</sup> ( 1 + a - h ) > 0
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| − | --> An der Stelle f<sub>a</sub><sup>'</sup> ( 1 + a - h ) steigt der Graph
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| − | --> VZW bei x = 1 + a
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| − | --> Extrempunkt bei ( 1 + a / e ) Maximum
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| − | <u>zur Verdeutlichung</u>
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| − | {| class="wikitable centersortable"
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| − | |+ Monotonieverhalten
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| − | |- style="background: #DDFFDD;"
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| − | !
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| − | ! x<1+a
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| − | !
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| − | ! x=1+a
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| − | !
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| − | ! x>1+a
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| − | |-
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| − | ! style="background: #FFDDDD;"|e<sup>a + 2 - x</sup>
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| − | | +
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| − | |
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| − | | +
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| − | |-
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| − | ! style="background: #FFDDDD;"|
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| − | |-
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| − | ! style="background: #FFDDDD;"|( 1 + a - x )
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| − | | +
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| − | | -
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| − | |-
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| − | ! style="background: #FFDDDD;"|
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| − | |-
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| − | ! style="background: #FFDDDD;"|f<sub>a</sub><sup>'</sup> ( x )
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| − | | +
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| − | | -
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| − | --> Maximum ( 1 + a / e )
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| − | <u>2. Möglichkeit</u>
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| − | Überprüfung durch die zweite Ableitung [[http://de.wikipedia.org/wiki/Produktregel Hilfe zur Produktregel]]
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| − | y = f<sub>a</sub> (x) = ( x - a ) e<sup>a + 2 - x</sup>
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| − | f<sub>a</sub><sup>'</sup> (x) = e<sup>a + 2 - x </sup> ( 1 + a - x )<br />
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| − | f<sub>a</sub><sup>''</sup> (x) = e<sup>a + 2 - x </sup> ( 1 + a - x ) ( -1 ) + ( -1 ) e<sup>a + 2 - x </sup><br />
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| − | = -e<sup>a + 2 - x </sup> ( 1 + a - x + 1 )<br />
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| − | = e<sup>a + 2 - x </sup> ( x - a - 2 )
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| − | Wenn die zweite Ableitung an dem möglichen Extrempunkt größer als Null ist hat man ein Minimum, wenn sie kleiner Null ist ein Maximum, bei gleich Null könnte ein Terrassenpunkt auftreten.
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| − | f<sub>a</sub><sup>''</sup> ( 1 + a ) = e<sup>a + 2 - ( 1 + a ) </sup> ( ( 1 + a ) - a - 2 )
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| − | = e<sup>a + 2 - 1 - a </sup> ( -1 )
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| − | = e^1 ( -1 ) = <0
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| − | --> Max ( 1 + a / e )
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| | === Wendepunkte === | | === Wendepunkte === |
Version vom 15. Januar 2010, 23:43 Uhr
mit 
; 
Wendepunkte
Zweite Ableitung siehe: Überprüfung des Extrempunkts; 2. Möglichkeit
fa (x) = ea + 2 - x ( x - a - 2 )
Um mögl. Wendepunkte zu bestimmen benötigt man die zweite Ableitung
Mögl. Wendepunkte tretten für fa (x) = 0 auf.
fa (x) = 0
ea + 2 - x ( x - a - 2 ) = 0 / ea + 2 - x > 0
--> ( x - a - 2 ) = 0 / + 2 ; + a
x = a + 2
Möglicher Wendepunkt bei x = a + 2
fa ( a + 2 ) = ( a + 2 - a ) ea + 2 - (a + 2 )
= 2 ea + 2 - a - 2 )
= 2 e^0
= 2
mög. WP ( a + 2 / 2 )
Überprüfung des Wendepunkts
1. Möglichkeit
H-Methode , VZW des Krümmungsverhaltens
fa ( a + 2 + - h ) = ea + 2 - (a + 2 - h ) ( a + 2 - h - a - 2 )
= ea + 2 - a - 2 + h ) ( -h )
= e^h ( -h )
= -h e^h
lim h --> 0 ............
fa ( a + 2 + + h ) = ea + 2 - (a + 2 + h ) ( a + 2 + h - a - 2 )
= ea + 2 - a - 2 - h ) ( h )
= e^h ( h )
= h e^h
lim h --> 0 ............
--> VZW bei x = a + 2
--> Wendepunkt bei ( a + 2 / 2 )
zur Verdeutlichung
Krümmungsverhalten
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x<2+a
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x=2+a
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x>2+a
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| ea + 2 - x
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+
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+
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| ( x - a - 2 )
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-
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+
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| fa ( x )
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-
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+
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--> WP ( a + 2 / 2 )
2. Möglichkeit
Verwendung der dritten Ableitung
fa (x) = ( x - a ) ea + 2 - x
fa' (x) = ea + 2 - x ( 1 + a - x )
fa (x) = ea + 2 - x ( x - a - 2 )
Um die dritte Ableitung zu bekommen muss man hier die Produktregel verwenden.
[Hilfe zur Produktregel]
fa (x) = ea + 2 - x ( x - a - 2 ) (-1) + 1 ea + 2 - x
= ea + 2 - x ( a + 2 - x + 1 )
= ( a + 3 - x ) ea + 2 - x
Wenn die dritte Ableitung am möglichen Wendepunkt ungleich Null ist, liegt ein Wendepunkt vor.
fa ( a + 2 ) = ( a + 3 - ( a + 2 )) ea + 2 - ( a + 2 )
= ( a + 3 - a - 2 ) ea + 2 - a - 2 )
= 1 e^0
= 1
> 0
--> WP ( a + 2 / 2 )
Funktiongleichung aller Extrempunkte
Extrempunkte ( 1 + a / e )
--> H ( x ) = e
Graph der Funktion f2 für 1,6 < x < 7
BILD EINFÜGEN
