Lösung zur Teilaufgabe a: Unterschied zwischen den Versionen

Version vom 31. Dezember 2009, 15:18 Uhr

Inhaltsverzeichnis

1 LÖSUNG VON TEILAUFGABE a)
- 1.1 1.

LÖSUNG VON TEILAUFGABE a)

y = f_a (x) = ( x - a ) e^{a + 2 - x} mit $x\in R$ ; $a\in R$

1.

$a)$ Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

Nullstellen

f_a (x) = 0

( x - a ) e^{a + 2 - x} = 0

Da die e-Funktion ( in diesem Fall e^{a + 2 - x}) immer streng monoton steigend und immer positiv ist, gibt es nur für ( x - a ) = 0 Nullstellen.

( x - a ) = 0

x - a = 0 / +a

x = a

--> NS ( a / 0 )

Für a < 0 NS ( <0 / 0 )
Für a > 0 NS ( >0 / 0 )
Für a = 0 NS ( 0 / 0 )

Schnittpunkt mit der y-Achse

( x - a ) e^{a + 2 - x} = y mit x = 0 folgt

( 0 - a ) e^{a + 2 - 0} = y

-a e^{a + 2} = y

-->SP_y-Achse (0 / -a e^{a + 2} )

Für a < 0 SP_y-Achse( 0 / >0 )
Für a > 0 SP_y-Achse( 0 / <0 )
Für a = 0 SP_y-Achse( 0 / 0 )

$b)$ lokal Extrempunkte

Damit man Extrempunkte einer Funktion finden kann braucht man ihre erste Ableitung

y = f_a (x) = ( x - a ) e^{a + 2 - x}

Um die erste Ableitung zu bekommen muss man hier die Produktregel verwenden [Hilfe zur Produktregel]

                          f_a^' (x) = ( x - a ) e^{a + 2 - x}( -1 ) + 1 e^{a + 2 - x}

                               = e^{a + 2 - x} (( x - a ) (-1) + 1 )

                               = e^{a + 2 - x} ( -x + a + 1 )

                               = e^{a + 2 - x} ( 1 + a - x )

Der/Die Extrempunkt/e können an der Stelle liegen, an der die erste Ableitung der Funktion gliech Null ist. Die erste Ableitung einer Funktion zeigt das Steigungsverhalten dieser an. Wenn dieses gleich Null ist, besitzt die Funktion eine waagrechte Tangent an dieser Stelle. Dass heißt es könnte ein Extrempunkt(Maximum^Hochpunkt und/oder Minimum ^ Tiefpunkt)auftreten.Dies muss jedoch erst mit der zweiten Ableitung oder mit dem Monotonieverhalten der Funktion überprüft werden, da auch ein Terassenpunktauftreten könnte.

                          f_a^' (x) = 0     /e^{a + 2 - x > 0 

                       ( 1 + a - x ) = 0                        /- 1 - a

                                  -x = -1 + a                   /* (-1)

                                   x = 1 + a
      Möglicher Extrempunkt bei x = 1 + a}

               y = f_a ( 1 + a ) = ( 1 + a - a ) e^{a + 2 - ( 1 + a )}  
                                           =  1 e^{a + 2 - 1 - a}  
                                           = e^1  = e

      Möglicher Extrempunkt  ( 1 + a / e )

Überprüfung des Extrempunkts

1. Möglichkeit

H-Methode
Vorzeichenwechsel (VZW) des Monotonieverhaltens der Funktion

f_a^' ( 1 + a + h ) = ( 1 + a -( 1 + a + h ) e^{a + 2 - ( 1 + a + h)} 
                                        = ( 1 + a - 1 - a - h ) e^{a + 2 - 1 - a - h} 
                                        = e^{1 - h} ( -h )
                                        = -h e^{1 - h}

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \lim_{h\to\0}

f_a^' ( 1 + a + h ) < 0

--> An der Stelle f_a^' ( 1 + a + h ) fällt der Graph

f_a^' ( 1 + a - h ) = ( 1 + a -( 1 + a - h ) e^{a + 2 - ( 1 + a - h)}

                                        = ( 1 + a - 1 - a + h ) e^{a + 2 - 1 - a + h} 
                                        = e^{1 + h} ( +h )
                                        = +h e^{1 + h}

Fehler beim Parsen(Lexikalischer Fehler): \lim_{h\to\0}

f_a^' ( 1 + a - h ) > 0

--> An der Stelle f_a^' ( 1 + a - h ) steigt der Graph

--> VZW bei x = 1 + a --> Extrempunkt bei ( 1 + a / e ) Maximum

zur Verdeutlichung

Monotonieverhalten

e^{a + 2 - x}	+	+

( 1 + a - x )	+	-

f_a^' ( x )	+	-

@@ Zeile 64: / Zeile 64: @@
                                              = e^1  = e
-        Möglich Extrempunkt  ( 1 + a / e )
+        Möglicher Extrempunkt  ( 1 + a / e )
-==== Untergeordnete Überschrift ====
+====Überprüfung des Extrempunkts ====
+<u>1. Möglichkeit</u>
+H-Methode<br />
+Vorzeichenwechsel (VZW) des Monotonieverhaltens der Funktion
+ f<sub>a</sub><sup>'</sup> ( 1 + a + h ) = ( 1 + a -( 1 + a + h ) e<sup>a + 2 - ( 1 + a + h)</sup>
+                                         = ( 1 + a - 1 - a - h ) e<sup>a + 2 - 1 - a - h</sup>
+                                         = e<sup>1 - h</sup> ( -h )
+                                         = -h e<sup>1 - h</sup>
+<math>\lim_{h\to\0} </math> f<sub>a</sub><sup>'</sup> ( 1 + a + h ) < 0
+--> An der Stelle  f<sub>a</sub><sup>'</sup> ( 1 + a + h ) fällt der Graph
+f<sub>a</sub><sup>'</sup> ( 1 + a - h ) = ( 1 + a -( 1 + a - h ) e<sup>a + 2 - ( 1 + a - h)</sup>
+                                         = ( 1 + a - 1 - a + h ) e<sup>a + 2 - 1 - a + h</sup>
+                                         = e<sup>1 + h</sup> ( +h )
+                                         = +h e<sup>1 + h</sup>
+<math>\lim_{h\to\0} </math> f<sub>a</sub><sup>'</sup> ( 1 + a - h ) > 0
+--> An der Stelle  f<sub>a</sub><sup>'</sup> ( 1 + a - h ) steigt der Graph
+--> VZW bei x = 1 + a
+--> Extrempunkt bei ( 1 + a / e ) Maximum
+<u>zur Verdeutlichung</u>
+{| class="wikitable centersortable"
+|+ Monotonieverhalten
+|- style="background: #DDFFDD;"
+!
+! x<1+a
+!
+! x=1+a
+!
+! x>1+a
+|-
+! style="background: #FFDDDD;"|e<sup>a + 2 - x</sup>
+|
+| +
+|
+| +
+|
+|-
+! style="background: #FFDDDD;"|
+|
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+|
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+|
+|-
+! style="background: #FFDDDD;"|( 1 + a - x )
+|
+| +
+|
+| -
+|
+|-
+! style="background: #FFDDDD;"|
+|
+|
+|
+|
+|
+|-
+! style="background: #FFDDDD;"|f<sub>a</sub><sup>'</sup> ( x )
+|
+| +
+|
+| -
+|
+|}

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$a)$ Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen

$b)$ lokal Extrempunkte

Überprüfung des Extrempunkts

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