Lösung von Teilaufgabe c) 2.

== Berechnung derjenigen Punkte, für welche die Tangente an den Graphen von f<sub>2</sub> durch den Ursprung verläuft ==


=== Verwendung der Tangentengleichung ===
Hier rate ich wieder zur Verwendung der Tangentengleichung.<br />

: <math>y = f^{'}( x_0)\cdot ( x - x_0 ) + f ( x_0 )</math><br />

Zwar fehlen hier einige feste Werte, die man in die Gleichung einsetzen kann, doch diese hat man in allgemeiner Form durch die Funktion und die erste Ableitung gegeben.<br />
:<math> y = ( x_0 - a - 1 )\cdot ( -e^{a + 2 - x_0})\cdot ( x - x_0 ) + ( x_0 - a )\cdot e^{a + 2 - x_0})</math><br />


<math>mit:\;</math><br />
: <math>y = 0\;</math><br />
: <math>x = 0\;</math><br />
: <math>a = 2\;</math><br />



::     <math>0 = ( x_0 - 3 )\cdot ( -e^{4 - x_0} )\cdot ( -x_0 ) + ( x_0 - 2 )\cdot ( e^{4 - x_0} )</math>
 
::     <math> 0 = ( x_0 - 3 )\cdot ( e^{4 - x_0} )\cdot ( x_0 ) + ( x_0 - 2 )\cdot ( e^{4 - x_0} )</math>
 
::     <math> 0 = ( x_0^{2} - x_0\cdot 3 )\cdot ( e^{4 - x_0} ) + ( x_0 - 2 )\cdot ( e^{4 - x_0} )</math>
 
::     <math> 0 = e^{4 - x_0}\cdot ( x_0^{2} - 3\cdot x_0 +  x_0 - 2 )</math>
 
::     <math> 0 = e^{4 - x_0}\cdot ( x_0^{2} - 2\cdot x_0 - 2 )\;\;\;\;\;\;\;\;|e^{4 - x_0}>0</math>
 
:: <math>\Rightarrow ( x_0^{2} - 2\cdot x_0 - 2 ) = 0</math>

Nun hat man als Lösung eine Quadratische Gleichung erhalten. <br />Diese löst man am besten mit Hilfe der Mitternachtsformel.<br />
Lösen quadratischer Gleichungen mit Hilfe der [http://de.wikipedia.org/wiki/Mitternachtsformel?title=Mitternachtsformel&redirect=no Mitternachtsformel] <math> x_{1,2} = \frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4\cdot a\cdot c}}{2a}</math>
 
: <math> x_{1,2} = \frac{2\pm\sqrt{4--8}}{2} = \frac{2\pm\sqrt{4+8}}{2}</math><br />

:: <math>  = \frac{2\pm\sqrt{12}}{2}= \frac{2\pm\sqrt{4\cdot 3}}{2}</math><br />

:: <math>  = \frac{2\pm2\cdot\sqrt{3}}{2}= {1\pm\sqrt{3}}</math><br />

: <math>\Rightarrow x_{1} = {1 + \sqrt{3}}</math><br />

: <math>\Rightarrow x_{2} = {1 - \sqrt{3}}</math><br />

Die beiden nun erhaltenen x-Werte müssen nun nur noch in die Funktion eingesetzt werden.<br /> 

[[Bild:Tangente_b1111.png|400px|right]]
:       <math>f_a(x_1)=\;</math><br /> 
::: <math>= f_a(1 + \sqrt{3})\;</math> 
::: <math>= ( 1 + \sqrt{3} - a )\cdot e^{a + 2 - ( 1 + \sqrt{3})}</math><br />
:::                      <math> = ( 1 + \sqrt{3} - 2 )\cdot e^{2 + 2 - ( 1 + \sqrt{3})}</math><br />
:::                      <math> = ( \sqrt{3} - 1 )\cdot e^{4 - 1 - \sqrt{3})}</math><br />
:::                      <math> = ( \sqrt{3} - 1 )\cdot e^{3 - \sqrt{3})}</math><br />
:::                      <math>\approx 2{,}601</math><br />

::::                   <math> \Rightarrow B_1(1 + \sqrt{3} / 2{,}601)</math>   







[[Bild:Tangente_b2222.png|400px|right]]
:       <math>f_a(x_2) =\;</math><br /> 
:::      <math>= f_a(1 - \sqrt{3})\;</math> 
:::                      <math> = ( 1 - \sqrt{3} - a )\cdot e^{a + 2 - ( 1 - \sqrt{3})}</math><br />
:::                      <math> = ( 1 - \sqrt{3} - 2 )\cdot e^{2 + 2 - ( 1 - \sqrt{3})}</math><br />
:::                      <math> = ( -\sqrt{3} - 1 )\cdot e^{4 - 1 + \sqrt{3})}</math><br />
:::                      <math> = ( -\sqrt{3} - 1 )\cdot e^{3 + \sqrt{3})}</math><br />
:::                   <math>\approx -310{,}164</math><br />

::::                      <math> \Rightarrow B_2(1 - \sqrt{3} / -310{,}164)</math>


Nachdem beide Berührpunkte nun einzeln gezeigt worden sind, hier eine Grafik in der Beide gleichzeitig zu sehen sind.
[[Bild:TANGENTE_b1b2.png|400px]]