Quint-System5

===Das pythagoreische Komma===

<br><br>Nach der 12. Quinte sollte man eigentlich wieder beim Anfangston angelangt sein. 12 Quinten sollten 7 Oktaven entsprechen.<br>
Jedoch gilt für 12 Quinten: <br><br> <math> Q^{12} = (\frac{3}{2})^{12} = 129{,}7463379;</math><br><br>
für 7 Oktaven gilt:<br><br> <math>Ok^7 = 2^7 = 128;</math>

Man sieht, dass die 12 Quinten die 7 Oktaven übertreffen.

Das pythagoreische Komma entspricht dem Verhältnis der 12 Quinten zu den 7 Oktaven<br><br>
<math>\frac {12 Q} {7 Ok} =  \frac {(\frac {3}{2})^{12}} {2^7} = \frac {531441}{524288} </math>
Alternativ lässt sich das pythagoreische Komma auch durch die Differenz von Aptome und Leimma berechnen.<br><br>

Leimma ist der oben berechnetet Halbtonschritt (Quarte-Ditonus) = <math>\textstyle \frac {256}{243}</math><br><br>
Aptome berechnet sich aus tonus – Leimma (Ganzton-Halbton) = <math>\textstyle \frac {2187}{2048}</math><br><br>

Das Verhältnis der 12 Quinten zu den 7 Oktaven entspricht der Differenz aus Aptome und Leimma, also <br><br> <math>\frac{12Q}{7Ok}= A - L =  \frac{2187}{2048} : \frac{256}{243} = \frac{531441}{524288};</math><br><br>
Die Differenz aus Aptome und Leimma kann man aus folgender Gegebenheit ableiten:<br>
der letzte Ton der pythagoreischen Tonleiter ist etwas höher als die Oktave. Wir haben oben folgende Formel für die pythagoreische Tonleiter definiert: <br><br> <math> H(A_u) = i^u \cdot H(A_o); u = (0),1,2,...,6;</math><br><br>
Da die pythagoreische Tonleiter nur 6 Töne hat berechnet sich die Höhe des 6. Tons wie folgt:<br><br>  <math>H (A_6) = (\frac{9}{8})^6 = 2,02728653;</math><br><br>
Da wir uns nun etwas mehr als eine Oktave über unserem Ausgangston befinden, müssen wir diese wieder abziehen um die Abweichen vom Grundton festzustellen.
2,02728653  - Ok = 2,02728653/2 = 1,013643265 <math>\leftrightarrow \textstyle \frac{531441}{524288};</math><br>
In der pythagoreischen Tonleiter befinden sich 2 Halbtonschritte. Zusammen sind sie etwas kleiner ein Ganzton, genauer gesagt wenn man von einem Ganzton zwei Halbtonschritte abzieht erhält man das pythagoreische Komma, d.h. <math> \frac {\frac {9}{8}} {\frac {256}{243}^2}</math> = pythagoreisches Komma.
Durch eine einfach Umformung lässt sich also die Behauptung A – L bestätigen:
<math> A = \frac {\frac {9}{8}} {\frac {256}{243}}; </math>
<math>L = \frac {256}{243};</math>
Für A – L gilt also <math> \frac {\frac {\frac {9}{8}} {\frac {256}{243}}}{\frac {256}{243}} = \frac {\frac {9}{8}} {\frac {256}{243}^2}; .</math><br><br>
Anmerkung: In der Literatur wird für das pythagoreische Komma oft auch der Wert <math>\textstyle \frac{74}{73}</math> angegeben. Allerdings ist dieser Wert eine Näherung.
Umgerechnet in Cent beträgt das pythagoreische Komma:  
<math>C =  1200 \cdot \frac {log\frac {\frac {3}{2}^{12}}{2^7}} {log 2} = 23,460039 \ Cent</math>.<br><br>

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