reine Stimmung1

===Quint-Terz System (reine Stimmung)===

<br><br>Da die pythagoreische Stimmung, wie oben beschrieben, v.a. in der Mehrstimmigkeit Probleme hatte, musste ein anders System entwickelt werden.<br>
Man setzt nun neben Quinte und Oktave auch die (große) Terz fest. Und zwar, statt sie aus den gestapelten Quinten, wie die Pythagoreer, zu berechnen, teilte man eine Saite in 5 Teile und erhielt das Verhältnis 5:4 und berechnete ausgehend von den 3 Basisintervallen die restlichen Intervalle.<br>
Da die Stimmung auf den 3 Basis Intervallen Quinte, Terz und Oktave basiert, heißt sie Quint-Terz Stimmung.<br>
Deshalb ist eine Möglichkeit diese Stimmung dazustellen, die Darstellung als Vektoren.<br><br>

(1) Die Oktave, in Vektorform &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Ok= [ 1 0 0]&nbsp;&nbsp;&nbsp; (<math>\textstyle \frac {2}{1}</math>)<br>
(2) Die Quinte, in Vektorform  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; Q = [ 0 1 0]&nbsp;&nbsp;&nbsp; (<math>\textstyle \frac {3}{2}</math>)<br>
(3) Die große Terz, in Vektorform gT = [ 0 0 1]&nbsp;&nbsp;&nbsp; (<math>\textstyle \frac {5}{4}</math>)<br><br>
Axiom: Man kann keines der Grundintervalle als Linearkombination
der übrigen beiden darstellen.<br><br>

Axiom: Jedes Intervall kann als Summe oder Differenz dieser drei
Grundintervalle geschreiben werden.<br><br>

Vektorschreibweise: i=[ x y z ]= x·Ok + y·Q + z·gT<br>
x,y,z <math>\in \Z</math> <br>
[x y z] werden als Oktav-Quint-Terz-Vektor bezeichnet.<br><br>

Die Basisintervalle können ersetzt werden durch folgende drei
Basisintervalle.<br>

(1) &nbsp; Großer Ganzton  G, als Vektor &nbsp;(100) = [-1 &nbsp; 2  0]  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (<math>\textstyle \frac {9}{8}</math>)<br>
(2) &nbsp; kleiner Ganzton G-, als Vektor &nbsp;(010) = [ 1 -2  1]  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (<math>\textstyle \frac {10}{9}</math>)<br>
(3) &nbsp; Halbton H, als Vektor &nbsp; &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; &nbsp;&nbsp; &nbsp;(001) = [ 1 -1 -1]  &nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; (<math>\textstyle \frac {16}{15}</math>)<br><br>

<u>Umrechnung:</u>

{| class="wikitable" 
|- 
| Oktave  Ok = (322)
|- 
| Quinte  Q = (211)
|-
|Terz  gT = (110)
|}


Oder durch folgende drei Basisintervalle (Halbtöne + Korrektur)<br><br>

(1) Halbton H     &nbsp; &nbsp; &nbsp; H = {100} = (001) = [1 -1 -1] &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; (<math>\textstyle \frac {16}{15}</math>)<br>
(2) synt. Komma   K = {010} = (1 -1 0) = [-2 4 -1] &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  (<math>\textstyle \frac {81}{80}</math>) &nbsp;  &nbsp;  &nbsp; (21,51 Cent)<br>
(3) 2H-G &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  k = {001} = (-1 0 2) = [3 -4 -2] &nbsp; &nbsp; &nbsp; &nbsp;  (<math>\textstyle \frac {2048}{2025})</math><ref>vgl. http://delphi.zsg-rottenburg.de/axiomensystem.html [Stand 2010-11-29]</ref><br><br>

Beispiel: Wie wird die Septime c-h aus Oktaven, Quinten und Terzen zusammengesetzt?<br><br>
                

c-d-e-f-g-h: G + (G-) + H + G + (G-) + G<br>
Als (G,G-,H)-Vektor = (Anzahl von G und G- und H) geschrieben: c - h = (3 2 1)<br>
"Zwei große Ganztöne, ein kleiner Ganzton und zwei Halbtöne".


Vektorrechnung:<br><br>
(3 2 1) = 3·(1 0 0) + 2·(0 1 0) + 1·(0 0 1) = 3·[-1 2 0] + 2·[1 -2 1] + 1·[1 -1 -1] = [0 1 1] = "Eine Quinte + eine große Terz" <br>
        
        
c-h umfasst 11 Halbtöne(c-des-d-es-e-f-fis-g-as-a-b-h).<br>
Das Problem ist, das es keine gleichen Halbtöne sind. Nun muss man noch die "Korrekturen" K = {0 1 0} (synt. Komma) und k = {0 0 1} (Ganzton - 2 Halbtöne) vornehmen.<br>
Das Ergebnis {x y z} erählt man durch lösen der Gleichung:<br><br>

 {x y z} = x·(0 0 1) + y·(1 -1 0) + z·(-1 0 2) = (3 2 1)<br>

Das lineares Gleichungssystem
 (I)         y - z   = 3
 (II)       -y       = 2
 (III)   x     + 2·z = 1

aus (II) folgt: y = -2;<br>

(II) in (I): <br>

 -2 – z = 3; z = -5;

z in (III):<br>

 x + 2*(-5) ) = 1; x = 11<br>

hat die Lösung: {x y z} = {11 -2 -5), d.h. c-h liegt 11 Halbtöne auseinander. Der Ton ist jedoch zu hoch. Zur Korrektur muss man zwei synth. Komma und 5 mal die (Differenz von zwei Halbtönen und Ganzton) tiefer.<br><br>
Auf diese Art lassen sich alle Intervalle der reinen Stimmung dastellen.<br><br>

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<references />