Mathematische Definition des Tonsystems

===Mathematische Definition des Tonsystems===
<br><br>Als erstes muss der Tonraumbegriff definiert werden: „Töne sind Elemente, welche in einer Menge zusammengefaßt werden. Jeder Ton ist durch eine endliche Folge von Tonparametern charakterisiert, deren erster die Tonhöhe des Tons festhält; verschiedene Tonhöhen haben verschiedene Parameterfolgen (Gegeben ist eine injektive Abbildung P, die jedem Ton seine Parameterfolge P(t) zuordnet. Falls P(t) n Glieder hat, schreiben wir P(t)=(P(t)1,...,P(t)n)“.<br><br>

t  wird hier als Tonhöhe bezeichnet.<br>
Variablen von Tönen werden mit Großbuchstaben bezeichnet. (A,B,C...)<br><br>

Nun folgt der Begriff des Komparativs (Anm. mathematisch richtige Bezeichnungen hierfür sind asymetrische und transitive Relation oder strikte Halbordnung) (>), der folgende Gesetze erfüllt:<br>
für x > y, gilt unter keinen Umständen y > x;<br>
für x > y und y > z gilt: x > z;<br>
Ebenso gilt das Gegenteil des Komparativs (Anm. inverse Relation) (<).<br>
Der Komparativ findet seine Verwendung im Tonhöhenaxiom: „Töne werden mit dem Komparativ 'höher' verglichen, wobei von zwei Tönen verschiedener Tonhöhe einer von beiden höher als der andere ist.“<br>
Das heißt für uns wenn H(A) ≠ H(B) → A > B oder B>A. H ist die Tonhöhe eines Tones.<br> 
Ebenso gilt das Gegenteil dieses Tonhöhenaxioms (H(A) ≠ H(B) →A< B oder B<A; das kleiner bedeutet in diesem Fall tiefer). <br>
Wenn beide Töne die gleiche Tonhöhe haben gilt: A~B → H(A) = H(B).<br><br>

Da der oben definierte Tonbegriff nicht ausreicht, wenn man die Beziehung zwischen zwei Tönen betrachten will, muss nun einen weiteren Begriff eingeführt werden, den Begriff der Intervalls.<br><br>

Der Abstand von einem Ton zu einem anderen ist ein eindeutiger Höhenunterschied und wird mit dem Begriff Intervall i bezeichnet. Dabei ist i=AB<br><br>

Konkrekt heißt das (In diesem Fall stellt A die Tonbezeichnung für den Ton A da und nicht die Variable): Wenn wir auf den Grundton A  zuerst eine Quarte Qua und anschließend auf den Endton einen Ganzton Gt intonieren, so ergibt sich als Ergebnis ein E. Also gilt E = (A + Qua) + Gt = A + (Qua + Gt) = A + Q für Q = Qua + Gt;<br><br>

Der Intervallraum ist eine archimedisch geordnete kommutative Gruppe. Diese Gruppe ist nach dem Satz von Hölder isomorph zu einer additiven Teilgruppe der reelen Zahlen“ <br><br>

Der Beweis findet sich [http://de.wikipedia.org/wiki/Intervall_(Musik)#Mathematische_Beschreibung_des_Intervallraumes   hier] <br><br>

2 Töne, A und B bestimmen immer ein Intervall i = AB. Dabei gilt A „Grundton“ und B „Endton“<br>
So ist z.B. für A = c  und B = f die Quarte AB bestimmt<br><br>

Im folgenden Abschnitt sind A und B zwei Variablen für 2 beliebige Töne.<br><br>

Weiter gilt, dass wenn der Endton B und das Intervall i bekannt sind, für den Grundton A: A = B - i;<br><br>

Die Addition zweier Intervalle verläuft nach folgendem Schema:<br><br>

i= AB und j = BC; dann ist die Summe der beiden Intervalle i + j = AC<br><br>

2 Intervalle können auch verglichen werden. Wenn wir j < i schreiben, dann bedeutet das, dass der Endton des Intervall j kleiner ist, als der des Intervall i, wobei der Grundton beider Intervalle gleich ist. Zum Beispiel gilt: Qua < Qui; <br><br>

Nun betrachten wir den Tonraum (T,I,+,<)<br>

I ist die Menge der Intervalle, wobei die Variablen von Intervallen mit Kleinbuchstaben bezeichnet werden (i,j...). <br><br>

Da die Menge der Intervalle eine kommutative archimedisch geordnete Gruppe ist, gelten die folgenden Gesetze:<br><br>

(1) Die Abgeschlossenheit: Zwei Intervalle I und j ergeben durch Addition i + j wieder ein neues Intervall k<br>
(2) Das Assoziativgesetz: (i + j)+ k = i+(j + k)<br>
(3) Ebenso das Kommutativgesetz: i + j = j + i <br>
(4) Die Exsistenz des Nullelementes und Inversen: i+x=j hat immer eine eindeutige Lösung, x=j-i. (das sogenannte Nullintervall, die Prim, ist durch o: i+o=i definiert und auch das zu jedem Intervall zugehörige inverse Intervall -i mit i+(-i)=o)<br>
(5) Die Trichotomie: Es gilt immer: i < j, i=j oder i>j<br>
(6) Transitiv: Aus i < j und j<j folgt i < k<br>
(7) Die Monotonie: Für i < j gilt i + k < j + k<br>
(8) Das Archimedische Gesetz: Es gibt zu jedem i und j mit 0 < i < j eine natürliche Zahl n, mit der gilt: n <math>\cdot</math > i > j, wobei das Intervall n <math>\cdot</math> i durch n-maliges Addieren des Intervalls I erhalten wird.<br><br>

Da T ein „affiner“ Raum über I ist gilt:<br><br>

(9)  Genau zwei Töne, A und B, bestimmen ein Intervall i. i = AB (Vektor)<br>
(10) Ein Ton A und ein Intervall i bestimmen genau einen Ton B (i = AB), für den gilt: B = A+i.<br>
(11) Es gilt: A+(i+j)= (A+i)+j oder anders geschrieben: AB + BC =AC <br><br>

"Beweis der Gleichwertigkeit:
<br>
<br>
<table>
  <tr>

    <td colspan=2>Setze B=A+i, d.h. i=AB, und C=B+j, d.h. j=BC.</td>
  </tr>
  <tr>

    <td>"=&gt;"</td>
    <td>Sei A+(i+j)=(A+i)+j f&uuml;r alle A &epsilon; T und i,j &epsilon; I.</td>
  </tr>
  <tr>

    <td>&nbsp;</td>
    <td>Dann folgt: A+(i+j)=(A+i)+j  (nach (11))</td>
  </tr>
  <tr>

    <td>&nbsp;</td>
    <td>=   B+ j=C.</td>
  </tr>

  <tr>

    <td>&nbsp;</td>
    <td>Somit AC=i+j=AB+BC</td>
  </tr>
  <tr>

    <td>"&lt;="</td>

    <td>Sei AB+BC=AC f&uuml;r alle A,B,C &epsilon; T</td>
  </tr>
  <tr>

    <td>&nbsp;</td>
    <td>Gegeben sei A &epsilon; T und i,j El I.</td>

  </tr>
  <tr>

    <td>&nbsp;</td>
    <td>Setze B=A+i und C=B+j, d.h. i=AB und j=BC. Dann gilt:</td>
  </tr>
  <tr>

    <td>&nbsp;</td>

    <td>(A+i)+j=B+j=C und A+(i+j)=A+(AB+BC)=A+AC=C. Somit:</td>
  </tr>
  <tr>

    <td>&nbsp;</td>
    <td>A+(i+j)=(A+i)+j</td>
  </tr>
  <tr>

    <td>&nbsp;</td>
    <td>q.e.d."</td>
  </tr>
</table><br><br>

Eine Tonleiter ist eine Anwendung des Tonraums. Der komplette Tonraum ist unübersichtlich, da er unendlich viele Töne enthält. Deshalb wird für die Praxis das Tonmaterial eingeschränkt.<br>
„Eine Tonleiter ist eine endliche Tonfolge, bei der entweder jeder Ton tiefer als der folgende oder aber jeder Ton höher als der folgende ist. Die Töne einer Tonleiter heißen Stufen: die n-te Stufe einer Tonleiter ist ihr n-ter Ton. “<br><br>

[[Benutzer:Grieninger_Sebastian/Facharbeit/Einführung der Tonraumzahlen| ''Die Tonraumzahlen'']]<br>
[[Benutzer:Grieninger_Sebastian/Facharbeit/Die Betrachtung des Intervallbegriffs aus musikalischer Sicht| ''Betrachtung des Intervallbegriffs aus musikalischer Sicht'']]