Tonraumzahlen2

===Beweis der Rechenregeln für den Logarithmus===

<br><br>Da dies nur Einzelbeispiele sind, sind die Rechenregeln nun zu beweisen (Aufbauend auf den Potenzgesetzen. Eine Einführung zu den Potenzgesetzen findet sich [http://www.digitale-schule-bayern.de/dsdaten/200/9.pdf   hier]):<br><br>
Der Logarithmus ist wie folgt definiert:<br><br>

<div style = "border: 2px solid green; padding:0.75em;"> <math>\log_b \ (u) = x; \leftrightarrow b^x = u;</math><br>
<math>\log_b \ (v) = y; \leftrightarrow b^y = v;</math><br></div><br><br>
<u>
Für das Produkt folgt:</u> <br><br>

<math>u \cdot v = b^x \cdot b^y = b^{x+y};</math><br><br> 

Wenn man wieder die Definition des Logarithmus anwendet erhält man:<br><br>
<math>
u \cdot v = b^{x+y} \leftrightarrow \log_b \ (u \cdot v) = x + y</math><br><br>

Wenn nun x und y durch die Werte von oben wieder ersetzt wird, bekommt man:<br><br>

<div style = "border: 2px solid red; padding:0.75em;"> <math>\log_b \ (u \cdot v) = \log_b \ (u) + \log_b \ (v)</math><br></div><br><br>

<u>Analog folgt für den Quotienten <math>\textstyle \frac {u}{v}</math>:</u><br><br>

<math>\frac {u}{v} = \frac {b^x}{b^y} = b^{x-y};</math><br><br>

Anwendung der Definition des Logarithmus:<br><br>

<math>\frac {u}{v} = b^{x - y} \leftrightarrow \log_b \ (\frac {u}{v}) = x - y;</math><br><br>

x und y ersetzen: <br><br>

<div style = "border: 2px solid red; padding:0.75em;"> <math>\log_b \ (\frac {u}{v}) = \log_b \ (u) - \log_b \ (v);</math><br></div><br><br>
<u>
Das Vorziehen des Exponenten:</u><br><br>

<math>u^2 = u \cdot u = b^x \cdot b^x = b^{2x};</math><br><br>

Anwendung der Definition des Logarithmus:<br><br>

<math>u^2 = b^{2x} \leftrightarrow \log_b \ (u^2) = 2x;</math><br><br>

x ersetzen:<br><br>

<div style = "border: 2px solid red; padding:0.75em;"> <math>\log_b \ (u^2) = 2 \cdot \log_b \ (u);</math><br></div><br><br>

Analog ist <br><br> <div style = "border: 2px solid red; padding:0.75em;"> <math>\frac {1}{2} \cdot \log \ u = \log \ \sqrt{u}</math><br></div><br><br>, da <math>\sqrt {u} = u^{0{,}5}</math> ist, also der letzte Beweis angewendet werden kann.<br><br>

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