Multiplizieren und Dividieren von Summen und Differenzen

= <span style="color: green">Multiplizieren und Dividieren von Summen und Differenzen</span> =
==<span style="color: green">Distributivgesetz der Multiplikation </span> ==
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabenstellung:</span>'''
{|
! width="910" |
|-
| valign="top" |
{|
! width="400" |
! width="1" |
|-
| valign="top" |
Ein Quadrat der Kantenlänge a wird auf der einen Seite um e erweitert und auf der anderen Seite zu s erweitert (siehe Skizze).
Wie errechnest du den Flächeninhalt des neuen Rechtecks?
|} 
|
| valign="top" | 
[[Bild:erweitertes_quadrat_einstieg5.jpg]] <br /> <br />
|}
<popup name="Lösung">
Der Flächeninhalt eines Rechtecks lautet A<sub>R</sub>= <span style="color: darkorange">l</span>•<span style="color: purple">b</span> <br />
Die Länge l setzt sich hier aus a+e zusammen, b ist in diesem Fall s. <br />
Also errechnet sich der Flächeninhalt der Figur so: <br />
A<sub>F</sub> = (<span style="color: darkorange">a+e</span>)•<span style="color: purple">s</span>
</popup> 
<br />
Überlege nun, wie du das Produkt in eine Summe umwandeln kannst.
<popup name="Lösung">
(a+e)•s = a•s + e•s
</popup> 
<br />
<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
<br />
Man multipliziert eine Summe (bzw. Differenz) mit einem Faktor, indem man jedes Glied der Summe (bzw. Differenz) mit dem Faktor multipliziert und die entstandenen Produkte addiert (bzw. subtrahiert).
: a•(b+c) = a•b+a•c = ab + ac  für alle a, b, c <math>\in</math> <math>Q</math>
: a•(b-c) = a•b-a•c = ab - ac  für alle a, b, c <math>\in</math> <math>Q</math>
:: (Vorgehensweise nach dem Distributivgesetz der Multiplikation)
</div>
<br />
''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''

(2-y)•3 = 2•3-y•3 = 6-3y 

Multipliziere nun folgende Terme aus:

* (4+m)•2
* (7+z)•(-4)
* (<math>\frac{1}{2}</math> +a)•<math>\frac{1}{2}</math> 
* (<math>\frac{1}{3}</math> -k)•<math>\frac{3}{4}</math>
<popup name="Lösung">
* (4+m)•2 = 4•2 + m•2 = 8 +2m
* (7+z)•(-4) = 7•(-4) + z•(-4) = -28 - 4z
<br />
* (<math>\frac{1}{2}</math> + a)•<math>\frac{1}{2}</math>  =   <math>\frac{1}{2}</math> •<math>\frac{1}{2}</math> + a• <math>\frac{1}{2}</math>  =  <math>\frac{1}{4}</math> + <math>\frac{a}{2}</math> 
<br />
* (<math>\frac{1}{3}</math> - k)•<math>\frac{3}{4}</math>  =  <math>\frac{1}{3}</math> •<math>\frac{3}{4}</math> - k• <math>\frac{3}{4}</math>  =  <math>\frac{1}{4}</math> - <math>\frac{3k}{4}</math>
</popup> </div>
<br />

==<span style="color: green">Distributivgesetz der Division </span> ==
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabenstellung:</span>'''
<br />Anna, Sara und Kerstin haben eine Tüte Bonbons geschenkt bekommen. Die Tüte enthält 9 Waldbeerbonbons und 18 Kirschbonbons. Die drei Freundinnen wollen die Bonbons gerecht untereinander aufteilen. Jede macht einen Vorschlag:

{|width="99%"
|width="40%" style="vertical-align:top"|

* Anna: "Wir zählen alle Bonbons zusammen und teilen sie dann durch 3."
* Sara: "Wir teilen erst die Waldbeerbonbons durch 3, dann die Kirschbonbons und zählen dann zusammen, wie viele Bonbons jede von uns bekommt."
* Kerstin: "Ist es nicht egal, ob wir erst zusammenzählen und dann teilen oder erst teilen und dann zusammenzählen?"

Was meinst du? Schreibe die beiden Rechenvorschriften zu Termen um und prüfe, welche der drei Mädchen recht hat.
|width="20%" style="vertical-align:top"|
|width="55%" style="vertical-align:center"|
[[Bild:bonbons_einstieg_dg-division-neu.jpg]]
|}<br /><br />

<popup name="Lösung">

* Anna: (9+18):3 = 27:3 = 9
* Sara: 9:3 + 18:3 = 3+6 = 9
<math>\Rightarrow</math> (9+18):3 = 9:3 + 18:3 = 9

Also haben alle drei Freundinnen recht.
</popup> 

Versuche nun, eine dafür allgemein geltende Rechenregel zu formulieren.
<popup name="Lösung">
(a+b):c = a:c + b:c
</popup> 
<br />
<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''

Man dividiert eine Summe (oder Differenz) durch einen von null verschiedenen Divisor, indem man jeder Glied der einen Summe (bzw. Differenz) durch den Divisor teilt und die entstandenen Quotienten addiert (bzw. subtrahiert).
:<math>\frac{a+b}{c}</math> = <math>\frac{a}{c}</math> + <math>\frac{b}{c}</math>        für a, b, <math>\in</math> <math>Q</math> ; c <math>\in</math> <math>Q</math> \{0}

bzw.:(a+b):c = a:c + b:c      für a, b, <math>\in</math> <math>Q</math> ; c <math>\in</math> <math>Q</math> \{0}   

:<math>\frac{a-b}{c}</math> = <math>\frac{a}{c}</math> - <math>\frac{b}{c}</math>         für a, b, <math>\in</math> <math>Q</math> ; c <math>\in</math> <math>Q</math> \{0}
bzw.: (a-b):c = a:c - b:c        für a, b, <math>\in</math> <math>Q</math> ; c <math>\in</math> <math>Q</math> \{0}
:: (Vorgehensweise nach dem Distributivgesetz der Division)
</div>
<br />
''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''

(a+6):8 = <math>\frac{a}{8}</math> + <math>\frac{6}{8}</math> = <math>\frac{a}{8}</math> +<math>\frac{3}{4}</math> 

Dividiere selbst:

* (z-0,5):2
* (m-c):c
* (2,8-0,3):a
<popup name="Lösung">
* (z-0,5):2 = <math>\frac{z}{2}</math> - <math>\frac{0,5}{2}</math> = <math>\frac{z}{2}</math> - 0,25
* (m-c):c = <math>\frac{m}{c}</math> - <math>\frac{c}{c}</math> = <math>\frac{m}{c}</math> - 1
* (2,8-0,3):a = (2,5):a = 2,5:a
</popup> </div><br />

==<span style="color: green">Ausmultiplizieren und Ausklammern </span> ==
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabenstellung:</span>'''
{|width="99%"
|width="40%" style="vertical-align:top"|
Du hast vorhin ein Quadrat berechnet, dessen Seitenlänge a um e erweitert wurde und dessen andere Seitenlänge zu s erweitert wurde.
Berechne jetzt den Flächeninhalt für das Rechteck, wenn sich s aus a und f zusammensetzt. (siehe Skizze)
|width="20%" style="vertical-align:top"|
|width="55%" style="vertical-align:center"|
[[Bild:erweitertes quadrat ausklammern.jpg]] 
|}<br /><br />
<popup name="Lösung">
Wie oben: 
A<sub>F</sub> = (<span style="color: darkorange">a+e</span>)•<span style="color: purple">s</span>
<br />für s= a+f einsetzen:
A<sub>F</sub> = (<span style="color: darkorange">a+e</span>)•(<span style="color: purple">a+f</span>)
</popup> <br />
Mit Hilfe des Distributivgesetzes kannst du eine Summe mit einem Faktor multiplizieren (bzw. dividieren).
Überlege, wie der neue Term für den Flächeninhalt A<sub>F</sub> = (a+e)•(a+f) ausmultipliziert werden kann.
<popup name="Lösung">
A<sub>F</sub> = (a+e)•(a+f)
:= a(a+f)+e(a+f) =
:= (a<sup>2</sup>+af)+(ae+ef)
:= a<sup>2</sup>+af+ae+ef
</popup> 
<br />

<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''

Man multipliziert zwei Summen (bzw. Differenzen) miteinander, indem man jedes Glied der einen Summe (bzw. Differenz) mit jedem Glied der anderen Summe (bzw. Differenz) multipliziert und die entstandenen Produkte addiert (bzw. subtrahiert). Dieser Rechenschritt verwandelt ein <u>Produkt in eine Summe</u>.
:(a+b)•(c+d) = a(c+d) + b(c+d) = (ac+ad) + (bc+bd) = ac + ad + bc + bd
:(a-b)•(c+d) = a(c+d) - b(c+d) = (ac+ad) - (bc+bd) = ac + ad - bc - bd
:(a+b)•(c-d) = a(c-d) + b(c-d) = (ac-ad) + (bc-bd) = ac - ad + bc - bd
:(a-b)•(c-d) = a(c-d) - b(c-d) = (ac-ac) - (bc-bd) = ac - ad - bc + bd
<br />
<span style="color: red"><u>Achte auf die Vor- und Rechenzeichen!</u></span>
</div>
<br />
''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''

(x+2)(x+5) = x(x+5) + 2(x+5) = (x<sup>2</sup>+5x) + (2x+10) = x<sup>2</sup> +5x +2x +10 = x<sup>2</sup>+7x+10
<br />
Berechne selbst:
* (y+7)(3+y)
* (a-5)(1+a+2)
* (m+n+o)(m-n-o)
<popup name="Lösung">
* (y+7)(3+y) = y(3+y) + 7(3+y) = (3y+y<sup>2</sup>) - (21+7y) = 3y+y<sup>2</sup> - 21 -7y = y<sup>2</sup> -4y-21
* (a-5)(1+a+2) = a(1+a+2) - 5(1+a+2) = (a+a<sup>2</sup>+2a) - (5+5a+10) = a+a<sup>2</sup>+2a-5-5a-10 = a<sup>2</sup>+a+2a-5a-5-10 = a<sup>2</sup>-2a-15
* (m+n+o)(m-n-o) = m(m-n-o) + n(m-n-o) + o(m-n-o) = (m<sup>2</sup>-mn-mo) + (mn-n<sup>2</sup>-no) + (mo-no-o<sup>2</sup>) = m<sup>2</sup>-mn-mo+mn-n<sup>2</sup>-no+mo-no-o<sup>2</sup> = m<sup>2</sup>-n<sup>2</sup>-2no-o<sup>2</sup>
</popup>
<br />
'''<span style="color: blue">Aufgabenstellung:</span>'''
<br />Wende das Distributivgesetz an, um aus einer Summe ein Produkt zu machen.

21x+14y+7

<popup name="Lösung">
21x+14y+7 = 7(3x+2y+1)
</popup> 
<br />
<div style="orange:0px; margin-right:90px; border: solid orange; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: red">Erklärung:</span>'''
Enthält in einer Summe aus Produkten jedes Produkt einen oder mehrere '''gemeinsame''' Faktoren, so kann man diese nach dem Distributivgesetz ausklammern. Dieser Rechenschritt verwandelt eine <u>Summe in ein Produkt</u>.
: a•b + a•c + a•d + a•e = a•(b+c+d+e)
</div>
<br />
''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>'''

2a-2b = 2(a-b)
<br />Berechne selbst:
* ax+a
* 6z<sup>2</sup>+21z
* 6ab<sup>3</sup>+9ab<sup>2</sup>-15ab 
<popup name="Lösung">
* ax+a = a(x+1)
* 6z<sup>2</sup>+21z = 3z(2z+7)
* 6ab<sup>3</sup>+9ab<sup>2</sup>-15ab = 3ab(2b<sup>2</sup>+3b-5)
</popup> </div>
<br />

==<span style="color: green">Übungsaufgaben </span> ==
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>'''

Multipliziere aus und fasse zusammen

* (m-n)(5n+m)
* (2a-3b)(2a-3b)
* (5r+2)(3r+2)
<popup name="Lösung">
* (m-n)(5n+m) = m(5n+m) - n(5n+m) = (5mn+m<sup>2</sup>) - (5n<sup>2</sup>+nm) = 5mn+m<sup>2</sup>-5n<sup>2</sup>-nm = m<sup>2</sup>+4mn-5n<sup>2</sup>
* (2a-3b)(2a-3b) = 2a(2a-3b) - 3b(2a-3b) = (4a<sup>2</sup>-6ab) - (6ab-9b<sup>2</sup>) = 4a<sup>2</sup>-6ab-6ab+9b<sup>2</sup> = 4a<sup>2</sup>-12ab+9b<sup>2</sup>
* (5r+2)(3r+2) = 5r(3r+2) + 2(3r+2) = (15r<sup>2</sup>+10r) + (6r+4) = 15r<sup>2</sup>+10r+6r+4 = 15r<sup>2</sup>+16r+4
</popup> </div>
<br />
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>'''
{|width="99%"
|width="40%" style="vertical-align:top"|
Übertrage die Termmauer in dein Heft und rechne sie aus.
|width="20%" style="vertical-align:top"|
|width="55%" style="vertical-align:center"|
[[Bild:rechenpyramide.jpg]] 
|}<br /><br />
<popup name="Lösung">
{|width="99%"
|width="40%" style="vertical-align:top"|
|width="20%" style="vertical-align:top"|
|width="55%" style="vertical-align:center"|
[[Bild:rechenpyramide_lösung.jpg]]
</popup> </div>
<br />
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 3:</span>'''
Berechne den Flächeninhalt aus den angegebenen Maßen und vereinfache dann so weit wie möglich.
{|width="60%"
|width="20%" style="vertical-align:top"|
a) [[Bild:Quadratundrechteck.jpg]]
|width="5%" style="vertical-align:top"|
|width="10%" style="vertical-align:center"|
b) [[Bild:rechteck.jpg]] 
|}<br /><br />
<popup name="Lösung">
a) A = (3x+y)•(3x+y) = 3x(3x+y) + y(3x+y) = (9x<sup>2</sup>+3xy) + (3xy+y<sup>2</sup>) = 9x<sup>2</sup>+3xy+3xy+y<sup>2</sup> = 9x<sup>2</sup>+6xy+y<sup>2</sup>

b) A = (2a+3b)•(2a-3b) = 2a(2a-3b) + 3b(2a-3b) = (4a<sup>2</sup>-6ab) + (6ab-9b<sup>2</sup>) = 4a<sup>2</sup>-6ab+6ab-9b<sup>2</sup> = 4a<sup>2</sup>-9b<sup>2</sup>
</popup> </div>
<br />
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 4:</span>'''
Die Terme in der ersten Zeile sind jeweils vereinfachte Produkte aus 2 der Termen, die unten stehen. Finde diese Terme und ziehe sie mit der Maus in das Lösungsfeld. 
<div class="lueckentext-quiz">
{| class="wikitable center"
|- 
|x<sup>2</sup> +5x+6 ||   x<sup>2</sup> -4x+3  ||   x<sup>2</sup>-3x-10   ||   x<sup>2</sup>+2x-8  ||   x<sup>2</sup> +1  ||   x<sup>2</sup>+4x+4
|- 
| <strong>  x+2 </strong>  || <strong> x-3 </strong> || <strong>  x-5 </strong> || <strong> x+4 </strong>  || <strong> x-1 </strong> || <strong> x+2 </strong> 
|-
| <strong> x+3 </strong> || <strong> x-1 </strong> || <strong> x+2 </strong> || <strong> x-2  </strong> || <strong> x+1 </strong> || <strong> x+2</strong>
|}</div><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br /><br />
</div>
<br /><br />
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