2005 I

{| class="wikitable "
|- style="background: #DDFFDD;"
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[[Kategorie:Name der Kategorie]]__NOTOC__

<div style="padding:1px;background: #EEEEE6;border:0px groove;">
<br />
<center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15>
<tr><td  width="800px" valign="top">

<center><big>'''Leistungskurs Mathematik (Bayern): Abiturprüfung 2005'''</big></center>
<center><big>'''Infinitesimalrechnung 1'''</big></center>
<br />
<center>'''Lösung von Daniel Greb, Sebastian Waldhäuser'''</center>
<br>
[http://www.isb.bayern.de/isb/download.aspx?DownloadFileID=41250891258e7bfb9e5538af466f1380  Angabe] <br />
[[Media:Abi_2005_1_gesamte_Loesung.doc|gesamte Lösung]]

</td></tr></table></center>


</div>

<div style="padding:1px;background: #EEEEE6;border:0px groove;">

<center><table border="0" width="800px" cellpadding=5 cellspacing=15>
<tr><td  width="800px" valign="top">
<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin black; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:97%; align:center; ">
<div align="left">

'''Aufgabe 1'''

Gegeben ist die Schar der in |R definierten Funktionen f<sub>k</sub>(x)=(x<sup>2</sup> + 1 - k)e<sup>-x</sup>  mit k E |R 

Der Graph von f<sub>k</sub> wird mit G<sub>k</sub>bezeichnet.

<b>a)</b>   Untersuchen Sie f<sub>k</sub> auf Nullstellen in Abhängigkeit von k. Bestimmen Sie das Verhalten von f<sub>k</sub> für x->-8 und x->+8.

<popup name = "Lösung" >
[[Bild: 2005_1_1a.jpg|750px]]
</popup>
<div align="right"><i>'''4 BE'''</i></div>

<b>b)</b>  Zeigen Sie, dass sich je zwei verschiedene Graphen G<sub>k</sub> nicht schneiden, einander aber beliebig nahe kommen.

<popup name="Lösung">
[[Bild: 2005_1_1b.jpg|750px]]
</popup>
<div align="right"><i>'''4 BE'''</i></div>

<b>c)</b>   Für welche Werte von k besitzt G<sub>k</sub> mindestens eine waagrechte Tangente? Zeigen Sie, dass sie Punkte von G<sub>k</sub> mit waagrechter Tangente auf dem Graphen W der Funktion w: x->2xe<sup>-x</sup> mit x E |R liegen.

<popup name ="Lösung">
[[Bild: 2005_1_1c.jpg|750px]]
</popup>
<div align="right"><i>'''7 BE'''</i></div>

<b>d)</b>   Die unten stehende Abbildung zeigt die Graphen G<sub>1</sub> und W. Zeichnen Sie unter Verwendung aller bisherigen Ergebnisse den GRaphen G<sub>2</sub> in die Abbildung ein.

[[Bild: 2005_1_1d_Zusatzbild zu d.jpg | 750px]]

<popup name="Lösung">
[[Bild: 2006_1_1d.jpg|750px]]
</popup>
<div align="Right"><i>'''5 BE'''</i></div>

<b>e)</b>   Bestätigen Sie, dass für k E |R gilt:   <math>f_k(x) = w(x) -f_{k}^{'}(x)</math> 
Der Grapg G<sub>1</sub> begrenzt im ersten Quadranten mit der x-Achse ein sich ins Unendliche erstreckendes Flächenstück mit endlichen Inhalt. Berechnen Sie diesen Flächeninhalt der obigen Beziehung.

<popup name= "Lösung">
[[Bild: 2005_1_1d.jpg|750px]]
</popup>
<dic align="Right"><i>'''7 BE'''</i>

</div>