Lösung a)

::<math>y = f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29},</math> <math>t\in R, a\in R, a>0</math>

==Untersuchen sie das Verhalten der Funktionen f<sub>a</sub> für t -> <math>\pm  \infty </math> und geben sie für die Asymptoten Gleichungen an.==

Um das Verhalten gegen gegen <math>\pm \infty</math> zu betrachten, muss man mit Hilfe des Limes einen Grenzwert bilden. Hierbei muss man lediglich die Variable t gegen <math>\pm \infty</math> laufen lassen und sich dann überlegen, welche Funktion stärker überwiegt und gegen welchen Wert die Funktion dann letztlich strebt.

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'''<u>Verhalten gegen <math>+\infty </math></u>:'''<br />
<math>\lim_{t \to \infty } f(t) = \lim_{t \to \infty } \frac{2\cdot e^{at} }{e^{at}+29 } = 2 \cdot \lim_{t \to \infty }\frac{e^{at} }{e^{at}+29 } = 2\cdot 1 = 2</math>

Da stets gilt a > 0, geht der Term <math>\lim_{t \to \infty } e^{at} </math> immer gegen <math>+\infty </math>;
Daraus folgt nun, dass der Term <math>\lim_{t \to \infty } \frac{2\cdot e^{at} }{e^{at}+29 }</math> gegen 1 gehen muss, da 29 im Vergleich zu <math>+\infty </math> vernachlässigbar klein ist.

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'''<u>Verhalten gegen <math>-\infty </math></u>:'''<br />
<math>\lim_{t \to - \infty } f(t) = 2\cdot \lim_{t \to -\infty } \frac{e^{at}}{e^{at}+29 } = 2\cdot \frac{0}{29} = 0</math>

Da stets gilt a > 0, geht der Term <math>\lim_{t \to - \infty } e^{at} </math> immer gegen 0; Daraus folgt, dass der Zähler gegen 0 geht und der Nenner gegen 29. Wenn man nun 0 durch 29 teilt, erkennt man, dass der Grenzwert <math>\lim_{t \to -\infty } f(t) </math> gegen 0 geht.

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'''<u>Gleichungen der Asymptoten</u>:'''

* waagrechte Asymptote bei 0, wenn t -> <math>-\infty </math> geht
<math>\Rightarrow a(x) = 0</math>

* waagrechte Asymptote bei 2, wenn t -> <math>+\infty </math> geht
<math>\Rightarrow b(x) = 2</math>

==Zeigen Sie, dass alle Funktionen f<sub>a</sub> monoton steigend sind==

<math>f'_{a} (t) = \frac{2\cdot a\cdot e^{at}\cdot (e^{at} + 29) - 2\cdot e^{at}\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2} } = 2\cdot a\cdot \frac{(e^{at}) ^{2} + 29\cdot e^{at} - (e^{at}) ^{2} }{(e^{at}+29) ^{2}} = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}} </math>



Suche nach möglichem Extrempunkt; falls kein Extrempunkt vorhanden ist, zeigt dies, dass die Funktion monoton steigend oder fallend sein muss.

:<math>f'_{a} (t) = \frac{58\cdot a\cdot e^{at} }{(e^{at}+29) ^{2}} = 0\;</math><br />
:<math>58\cdot a \cdot e^{at} = 0\;</math><br />
:<math>e^{at} = 0\;\;\;\;\;\;\;\; (f)</math><br />


Da die e-Fkt. nie 0 werden kann, sondern dieser sich immer nur annähert, gibt es keine mögliche Stelle für einen Extrempunkt. Somit lässt sich folgern, dass die Funktion entweder streng monoton steigend oder fallend ist.

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'''Beweis dafür, dass die Funktion streng monoton steigend ist:'''
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Da man nun weiß, dass es keinen Extrempunkt gibt, an der sich das Monotonieverhalten ändern kann, lässt sich sehr leicht aus den Grenzwerten gegen <math>\pm  \infty </math> erkennnen, dass der Verlauf des Graphen stets steigend ist.

Der Grenzwert t -><math> - \infty </math> geht gegen 0<br />
Der Grenzwert t -><math> \infty </math> geht gegen 2

Anhand dieser Grenzwerte und dem fehlenden Extrempunkt geht deutlich hervor, dass die Funktion einen streng monoton steigenden Verlauf nimmt, der sich 0 und 2 annähert



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