Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen

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= <span style="color: blue">Strecken und Spiegeln von Funktionsgraphen</span> =
== <span style="color: blue">Streckung in y-Richtung</span> ==


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''' <span style="color: blue">Zur Erinnerung:</span>''' <br />
Bei quadratischen Funktionen habt ihr in der neunten Klasse bereits gelernt, dass der Funktionsgraph durch einen Koeffizienten a  weiter oder enger als die Normalparabel 
f(x)=x<sup>2</sup> sein kann. Diese Erscheinung wird nun allgemein für alle Funktionstypen untersucht.

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''' <span style="color: blue">Problemstellung:</span>''' <br />
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<br /> <br /> Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph der Funktion f(x)= 2x<sup>4</sup>-3x<sup>2</sup>+0,5 dargestellt. Wird diese Funktion nun mit einer rationalen Zahl k multipliziert, entsteht ein veränderter Graph g. Versuche, durch Verschieben des Reglers das Verhalten des Funktionsgraphen zu erklären. 
|} <br /> <br />
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<ggb_applet width="596" height="502"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" /> <br /> <br />
|}

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''' <span style="color: blue">Erklärung:</span>''' <br />
Da der Graph von g(x) aus einer Multiplikation von einem Koeffizienten k und dem Funktionswert von f(x) entsteht, gilt für den Graphen g die Funktionsgleichung g(x)=k<math>\cdot</math>f(x). Dadurch nimmt g bei einem Koeffizienten k>1 einen größeren Funktionswert an als der Graph von f. Der Graph ist also in y-Richtung gestreckt. Dasselbe gilt auch für 0<k<1, nur dass der Graph g hier kleinere Funktionswerte annimmt. '''Die Nullstellen bleiben dabei unverändert!''' 
|} <br /> <br /> <br />

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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> ''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>''' <br />
:<span style="color: green">k=3</span> <br />
:<span style="color: red">f(1)=-0,5</span> <br />
::g(x)=f(x)<math>\cdot</math>k <br />
::g(1)=<span style="color: red">f(1)</span><span style="color: green"><math>\cdot</math>3</span> <br />
::g(1)=-0,5<math>\cdot</math>3 <br />
::g(1)=-1,5 </div> 
|} <br /> <br /> <br /> <br />

== <span style="color: blue">Streckung in x-Richtung</span> ==

''' <span style="color: blue">Problemstellung:</span>''' <br />
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Im untenstehenden Applet ist der Graph der Funktion f(x)=cosx eingezeichnet. Durch eine Streckung in x-Richtung entsteht der Graph g. Durch Verschieben des Reglers kannst du diese Streckung beobachten. Überlege dir, welche Auswirkungen eine Streckung um den Faktor 3 auf den Funktionsgraph hat.
|} <br /> 
<ggb_applet width="819" height="442"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" /> <br /> <br />

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''' <span style="color: blue">Erklärung:</span>'''  <br />
Eine Streckung um den Faktor 3 in x-Richtung bedeutet, dass der Graph von g den Funktionswert, den der Graph von f an der Stelle x annimmt, erst an der Stelle 3x annimmt. <br />
Es entsteht also der Zusammenhang f(x)=g(3x) oder g(x)=f(<math>{1 \over 3}</math>x)=cos<math>{1 \over 3}</math>x <br />
|} <br /> <br /> <br />

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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid blue; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; "> ''' <span style="color: blue">Beispiel:</span>''' <br />
:<span style="color: green">k=3</span> <br />
:f(<math>\Pi</math>)=-1 <br />
::g(x)=f(<math>{1 \over k}</math>x) <br />
::g(<math>\Pi</math>)=f(<math>{1 \over 3}</math><math>\Pi</math>) <br />
::g(<math>\Pi</math>)=0,5  
</div> 
|} <br /> <br />

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Ist der Streckungsfaktor 0<k<1, z.B. k=0,5, dann entspricht der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von g an der Stelle 0,5. <br />
Der Zusammenhang lautet also f(x)=g(0,5x) oder g(x)=f(2x). Das Verhalten des Graphen kannst du beobachten, wenn du im oben abgebildeten Koordinatensystem den Regler k verschiebst.
'''Der Funktionswert an der Stelle x=0 bleibt immer gleich.''' <br />
'''Allgemein: g(x)=f(kx)''' mit dem Streckungsfaktor <math>{1 \over k}</math>
|} <br /> <br />

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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid red; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:yellow; width:90%; align:center; ">  <span style="color: red">'''Merke:''' </span> 
Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=k<math>\times</math>f(x) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f  in y-Richtung um den Faktor k gestreckt.
Besteht zwischen zwei Funktionen der Zusammenhang g(x)=f(kx) mit k>0, dann ist der Graph von g gegenüber dem von f um den Faktor <math>{1 \over k}</math> in x-Richtung gestreckt.</div> 
|} <br /> <br />

== <span style="color: blue">Spiegelung an der x-Achse</span> ==

Bisher haben wir das Verhalten der Funktionsgraphen nur für positive Werte von k untersucht. Nun soll k den Wert -1 annehmen. Aus den oben erstellten <br />
Formeln ergeben sich nun die Fälle 
g(x)= -1k<math>\times</math>f(x)  und g(x)=f(-1kx), <br />
also g(x)= -f(x) und g(x)=f(-x). <br />
Zunächst betrachten wir den Fall <span style="color: blue">g(x)= -f(x)</span> . <br />

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[[Bild:Spiegelung an der x-Achse neu.png|450px|left]]

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<br /> <br /> <br /> Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph von f  mit dem Funktionsterm f(x)=x<sup>4</sup>-x<sup>2</sup>  rot dargestellt. Um die Funktionswerte des grün dargestellten Graphen von g zu erhalten, werden die Funktionswerte von f(x) mit k=-1 multipliziert. Wie in der Abbildung zu erkennen ist, handelt es sich beim Graphen von g um eine Spiegelung an der x-Achse. <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 

|}

== <span style="color: blue">Spiegelung an der y-Achse</span> ==

Nun betrachten wir den Fall <span style="color: blue">g(x)=f(-x)</span> am Beispiel f(x)=2<sup>x</sup>. <br />

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[[Bild:Spiegelung an der y-Achse neu.png|450px|left]]
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<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> Im nebenstehenden Koordinatensystem ist der Graph von f rot dargestellt. Für den Graphen von g (grün dargestellt) gilt der Funktionsterm g(x)=2<sup>-x</sup>.  Betrachtet man die beiden Graphen zusammen, so fällt auf, dass der Graph von g aus einer Spiegelung von f an der y-Achse entsteht.
<br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> <br /> 

|}
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<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid red; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:yellow; width:90%; align:center; "><span style="color: red">'''Merke:''' </span> <br />
Der Graph von g mit '''g(x)=-f(x)''' geht aus dem Graphen von f durch eine '''Spiegelung an der          x-Achse''' hervor. <br />
Der Graph von g mit '''g(x)=f(-x)''' geht aus dem Graphen von f durch eine '''Spiegelung an der           y-Achse''' hervor. <br /> <br />

''' Hinweis:''' Bei einer Streckung beispielsweise um den Streckungsfaktor k=-2 entsteht der Graph von g aus einer Spiegelung an der x-Achse und anschließender Streckung um den Streckungsfaktor 2.</div> <br /> <br />
|}

Wie sich der Graph einer Funktion verhält, wenn er an der x-Achse gespiegelt und dann in y-Richtung gestreckt wird, kannst du im untenstehenden Applet beobachten. <br /> <br />

<ggb_applet width="810" height="484"  version="3.2" ggbBase64="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" framePossible = "false" showResetIcon = "false" showAnimationButton = "true" enableRightClick = "false" errorDialogsActive = "true" enableLabelDrags = "false" showMenuBar = "false" showToolBar = "false" showToolBarHelp = "false" showAlgebraInput = "false" />

== <span style="color: blue">Beispielaufgaben</span> ==

<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 1:</span>'''  <br />
Zeichne in ein gemeinsames Koordinatensystem die Funktion f(x)=x<sup>3</sup>+2, sowie die Funktionen g(x)=2f(x) und h(x)=f(2x) (handschriftlich). <br /> <br />
<popup name="Lösung"> 
[[Bild:Lösung Strekungsaufgabe 2.1.png|600px]]
</popup> </div> <br />

<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: solid thin green; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:white; width:90%; align:center; ">''' <span style="color: blue">Aufgabe 2:</span>''' <br />
Gegeben ist die Funktion f(x)=2x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+2x+1. Erstelle jeweils die neuen Funktionen nach den folgenden Anweisungen. Verwende zum Weiterrechnen jeweils den vorangegangenen Funktionsterm.<br />
:a) Streckung um den Faktor 3 in y-Richtung <br />
:b) Spiegelung an der x-Achse <br />
:c) Streckung um den Faktor 0,5 in x-Richtung <br />
:d) Streckung um den Faktor 0,25 in y-Richtung <br />
:e) Spiegelung an der y-Achse <br /> <br />

<popup name="Lösung"> 
f(x)=2x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+2x+1 <br /> <br />
a) Streckung um den Faktor <span style="color: red">3 in y-Richtung</span> <br />
::g(x)=<span style="color: red">k</span><math>\times</math>f(x) mit <span style="color: red">k=3</span> <br />
::g(x)=<span style="color: red">3</span><math>\times</math>(2x<sup>3</sup>-x<sup>2</sup>+2x+1) <br />
::g(x)=6x<sup>3</sup>-3x<sup>2</sup>+6x+3 <br /> <br />

b) <span style="color: red">Spiegelung an der x-Achse</span> <br />
::<span style="color: red">h(x)=-g(x)</span> <br />
::h(x)=-(6x<sup>3</sup>-3x<sup>2</sup>+6x+3) <br />
::h(x)=-6x<sup>3</sup>+3x<sup>2</sup>-6x-3 <br /> <br />

c) Streckung um den Faktor <span style="color: red">0,5 in x-Richtung</span> <br />
::<span style="color: red">i(x)=h(kx)</span> mit <span style="color: red">k=</span><math>{1 \over 0,5}</math>=<span style="color: red">2</span> <br />
::i(x)=h(<span style="color: red">2x</span>) <br />
::i(x)=-6(2x)<sup>3</sup>+3(2x)<sup>2</sup>-6(2x)-3 <br />
::i(x)=-48x<sup>3</sup>+12x<sup>2</sup>-12x-3 <br /> <br />

d) Streckung um den Faktor <span style="color: red">0,25 in y-Richtung</span> <br />
::k(x)=<span style="color: red">0,25</span><math>\times</math>i(x) <br />
::k(x)=-12x<sup>3</sup>+3x<sup>2</sup>-3x-0,75 <br /> <br />

e) <span style="color: red">Spiegelung an der y-Achse</span> <br />
::<span style="color: red">l(x)=k(-x)</span> <br />
::l(x)=-12(-x<sup>3</sup> )+3(-x<sup>2</sup> )-3(-x)-0,75 <br />
::l(x)=12x<sup>3</sup>-3x<sup>2</sup>+3x-0,75 <br /> <br />
</popup> </div>


''' <span style="color: blue">Aufgabe 3:</span>''' <br />
Finde die passenden Paare. <br />
<div class="memo-quiz">

{| 
|-
| <big> '''Spiegelung an der x-Achse'''</big>  || [[Bild:Memory Streckung1neu.png|120px]] 
|-
| <big> '''Spiegelung an der y-Achse'''</big>  || [[Bild:Memory Streckung2neu.png|120px]]
|-
| <big> '''Streckung in x-Richtung'''</big> || [[Bild:Memory Streckung3neu.png|120px]]
|-
| <big> '''Streckung in y-Richtung'''</big>  || [[Bild:Memory Streckung4neu.png|120px]]
|}

</div>  <br />
|}



[[Facharbeit Florian Wilk/Symmetrie von Funktionsgraphen|Weiter zum Kapitel Symmetrie von Funktionsgraphen]]


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