Lösung von Teilaufgabe d

== Kongruenz der Dreiecke ==

Die Dreiecke werden durch die Punkte <math>\; R_a\;( a / f_a (a))</math>, <math>H_a\; ( a + 1 / f_a ( a + 1 ))</math> und <math>H_a\; ( a + 1 / f_a ( a + 1 ))</math> festgelegt.


=== 1.Punkt :  <math>\; R_a\;( a / f_a (a))</math> ===


:         <math>f_a (a) = ( a - a )\cdot e^{ a + 2 - a }</math><br />

:::          <math> = 0\cdot e^{ 2 }</math><br />
 
:::          <math> = 0\;</math> 
    
Der Punkt '''R<sub>a</sub>''' liegt für alle a bei '''R<sub>a</sub>''' ( a / 0 )



=== 2.Punkt : <math>H_a\; ( a + 1 / f_a ( a + 1 ))</math> ===


:     <math>f_a (a+1) = ( a + 1 - a )\cdot e^{ a + 2 - (a+1) }</math><br />

::::          <math> = 1 \cdot e^{ a + 2 - a-1) }</math><br />

::::          <math> = 1 \cdot  e^{1}</math><br />

::::          <math> = e\; </math><br />
 
Der Punkt '''H<sub>a</sub>''' liegt für alle a bei '''H<sub>a</sub>''' ( a + 1 / e )



=== 3.Punkt : <math>W_a\;( a + 2 / f_a ( a + 2 ))</math> ===


:     <math>f_a (a+2) = ( a + 2 - a )\cdot e^{ a + 2 - (a+2) }</math><br />

::::         <math> = 2 \cdot e^{ a + 2 - a-2) }</math><br />

::::         <math> = 2 \cdot  e^{0}</math><br />

::::          <math>= 2 \;</math><br />
 
Der Punkt '''W<sub>a</sub>''' liegt für alle a bei '''W<sub>a</sub>''' ( a + 2 / 2 )


Mit den nun drei bestimmten Punkten '''R<sub>a</sub>''', '''H<sub>a</sub>''' und '''W<sub>a</sub>''' lässt sich sagen, dass die Dreiecke kongruent sein müssen. Die y-Werte aller drei Punkte sind für alle a identisch. Daraus schließt man, dass sich die drei Punkte nur auf der x-Achse beziehungsweise auf einer Parallelen zur x-Achse, immer um den gleichen Wert, nämlich um a, verschieben lassen. Da sich die Punkte nur auf Parallelen zur x-Achse verschieben, heißt das natürlich auch, dass sich das Dreieck nur auf der x-Achse verschieben kann und somit immer kongruent ist.


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== Flächeninhalt des Dreiecks ==

<math>im R^{2}: A = \frac{1}{2}  | ( a_1\cdot  b_2 - a_2\cdot b_1) + (  b_1\cdot c_2 - b_2\cdot c_1 ) + ( c_1\cdot a_2 - c_1\cdot a_2 ) |</math>
 
 siehe Formelsammlung Seit 81

<math>Definiere: \;</math><br />
<math> A\; (\;a_1 \;/\; a_2 \;) =   R_a \;(\; a \;/\; 0\; )</math><br />
<math> B\; (\;b_1 \;/\; b_2 \;) =   H_a \;( \;a + 1\; /\; e \;)</math><br />
<math> C\; (\;c_1 \;/\; c_2 \;) =   W_a \;(\; a + 2 \;/ \;2 \;)</math><br />


: <math> A_F = \frac{1}{2}  | ( a\cdot  e - 0\cdot (a+1)) + ( (a+1)\cdot 2 - e\cdot (a+2) ) + ( (a+2)\cdot 0 - 2\cdot a ) |</math><br />
::     <math>  = \frac{1}{2}  |  a\cdot  e - 0 +  2\cdot a + 2- e\cdot a -2\cdot e  +  0 - 2\cdot a ) |</math><br />
::     <math>  = \frac{1}{2}  |  a\cdot  e  +  2\cdot a + 2- e\cdot a -2\cdot e  - 2\cdot a ) |</math><br />
::     <math>  = \frac{1}{2}  |   2 -2\cdot e   |</math><br />
::     <math>  = \frac{1}{2}\cdot2 |  1 - e |</math><br />
::     <math>  = 1\cdot |  1 - e |</math><br />
 
::       <math>      = |   1 - e   |\;</math><br />

::     <math>\approx  1,718</math><br />
 
Der Flächeninhalt beträgt, '''unabhängig''' von '''a''', <math>| 1 - e |\;</math>.