Verschieben von Funktionsgraphen

= Verschieben von Funktionsgraphen =
== 1.Verschiebung nach oben/unten ==

'''Problemstellung:'''
[[Bild:Verschiebung nach oben2.png|700px]] 
Im nebenstehenden Koordinatensystem siehst du den Funktionsgraphen f der Funktion f(x)=x<sup>3</sup>. Der rote Graph h liegt 3 Einheiten über dem Graphen von f. Welcher formelle Zusammenhang besteht nun zwischen den beiden Graphen f und h? 



'''Erklärung:''' Der Graph f gehört zu dem Funktionsterm f(x)=x<sup>3</sup>. Der Graph h liegt 3 Einheiten über dem Graphen f. Das bedeutet, dass jeder Funktionswert h(x) an der Stelle x 3 Einheiten größer ist, als der Funktionswert f(x). Dies fällt auch auf, wenn man die Graphen im Koordinatensystem betrachtet. Der rote Graph h verläuft über dem Graphen f, nimmt aber ansonsten den gleichen Verlauf. Er ist also um <span style="color: red">3 Einheiten in positiver y-Richtung (nach oben)</span> verschoben. <br /> Für den Funktionsterm h(x) gilt somit: h(x)=f(x)<span style="color: red">+3</span>. <br /> <br />
'''Beispiel:''' f(x)=x<sup>3</sup>	<br />	
:::<span style="color: green">f(1)=1</span> <br />
Verschiebung um <span style="color: red">3 Einheiten nach oben</span>   <math>\rightarrow</math>  	 h(x)=f(x)+3	<br />						
::: h(1)=<span style="color: green">f(1)</span><span style="color: red">+3</span> <br />
::: h(1)=1+3 <br />
::: h(1)=4


<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: red; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:yellow; width:90%; align:center; "> '''Allgemein:''' Bei zwei gegebenen Funktionen f und h, für die gilt: h(x)=f(x)<span style="color: red">+a</span> entsteht der Graph h durch eine Verschiebung des Graphen f um <span style="color: red">a</span> Einheiten in y-Richtung. Für ein positives a erfolgt die Verschiebung in positiver y-Richtung (nach oben), für ein negatives 	a in negativer y-Richtung (nach unten).</div>

== 2.Verschiebung nach rechts/links ==

'''Problemstellung:''' Nun entsteht der Graph j, indem der Graph von f mit x→x<sup>3</sup>+2x<sup>2</sup> um 3 Einheiten nach rechts verschoben wird. Welcher Zusammenhang besteht nun zwischen den Funktionen?
[[Bild:Verschiebung zur Seite.png|700px]] 

'''Erklärung:''' Eine Verschiebung des Graphen <span style="color: red">um 3 Einheiten in positiver x-Richtung</span> (also nach rechts) bedeutet, dass der Graph j 3 Einheiten weiter rechts verläuft, als der Graph f. Somit entspricht der Funktionswert von f an der Stelle x dem Funktionswert von j an der Stelle x+3.<br />  Somit ergibt sich der Zusammenhang j(x)=f(<span style="color: red">x-3</span>).

'''Beispiel:'''	f(x)=x<sup>3</sup>+2x<sup>2</sup>  <br />
:::x=1 <math>\rightarrow</math>  f(1)=3   <br />    <br />                       
	Verschiebung um 3 Einheiten nach rechts: <br />	
:::j(x)=f(x-3) <br />
:::j(x)=(x-3) <sup>3</sup>+2(x-3)<sup>2</sup> <br />
:::j(4)=(4-3)<sup>3</sup>+2(4-3)<sup>2</sup> <br />
:::j(4)=1+2=3=f(1) <br /> <br />
Man kann also erkennen, dass der Funktionswert von f(x) an der Stelle 1 gleich dem Funktionswert von j(x) an der Stelle 4, also 3 Einheiten rechts von f(x), ist.


<div style="margin:0px; margin-right:90px; border: red; padding: 1em 1em 1em 1em; background-color:yellow; width:90%; align:center; ">'''Allgemein:''' Bei zwei gegebenen Funktionen f und j, für die gilt: j(x)=f(x<span style="color: red">-b</span>) entsteht der Graph j durch eine Verschiebung um <span style="color: red">b</span> Einheiten in x-Richtung. Für ein positives b erfolgt die Verschiebung in positiver x-Richtung (nach rechts), für ein negatives b in negativer x-Richtung (nach links).</div>


== 3.Beispielaufagben ==

'''Aufgabe 1:''' <br /> Gegeben ist die Funktion f(x)=x<sup>3</sup>+5x-5. Bestimme den Funktionsterm h(x) für den Graphen h, der ausgehend vom Graphen f 5 Einheiten nach unten und 2 nach rechts verschoben ist.


<popup name="Lösung">
h(x)=f(x<span style="color: green">-2</span>) <span style="color: red">-5</span>    
::   <span style="color: green">2 Einheiten nach rechts</span> 
:: <span style="color: red">5 Einheiten nach unten</span> <br /> 
::=(x-2)<sup>3</sup>+5(x-2)-5-5 <br /> 
::=(x-2)(x<sup>2</sup>-4x+4)+5x-10-10 <br /> 
::=x<sup>3</sup>-4x<sup>2</sup>+4x-2x²+8x-8+5x-20 <br /> 
::='''x<sup>3</sup>-6x<sup>2</sup>+17x-28'''
</popup>


'''Aufgabe 2:''' <br /> Bestimme die Funktionsterme der Graphen, die durch Verschiebung aus dem Graphen f(x)=x<sup>3</sup> hervorgegangen sind.

Ausgangsfunktion: <br />
[[Bild:Aufgabe 2 Verschiebungen 1.png|400px]] <br /> <br />

a) <br />
[[Bild:Aufgabe 2 Verschiebungen 2.png|400px]] <br /> <br />

b) <br />
[[Bild:Aufgabe 2 Verschiebungen 3.png|400px]] <br /> <br />

c) <br />
[[Bild:Aufgabe 2 Verschiebungen 4.png|400px]] <br /> <br />

<popup name="Lösung">
a)  Verschiebung um <span style="color: red">2 Einheiten nach oben</span>: <br />
:::g(x)=f(x)<span style="color: red">+2</span>='''x<sup>3</sup>+2''' <br /> <br />
b)  Verschiebung um <span style="color: red">2 Einheiten nach links</span>: <br />
:::h(x)=f(<span style="color: red">x+2</span>) <br />
:::h(x)=(<span style="color: red">x+2</span>)<sup>3</sup> <br />
:::h(x)=(x+2)(x<sup>2</sup>+4x+4)<br />
:::h(x)=x<sup>3</sup>+4x<sup>2</sup>+4x+2x<sup>2</sup>+8x+8 <br />
:::'''h(x)=x<sup>3</sup>+6x<sup>2</sup>+12x+8''' <br /> <br />

c)  Verschiebung um <span style="color: red">3 Einheiten nach rechts</span> und <span style="color: green">4 Einheiten nach unten</span>: <br />
:::j(x)=f(<span style="color: red">x-3</span>)<span style="color: green">-4</span> <br />
:::j(x)=(<span style="color: red">x-3</span>)<sup>3</sup><span style="color: green">-4</span> <br />
:::j(x)=(x-3)(x<sup>2</sup>-6x+9)-4 <br />	
:::j(x)=x<sup>3</sup>-6x<sup>2</sup>+9x-3x<sup>2</sup>+18x-27-4 <br />
:::'''j(x)=x<sup>3</sup>-9x<sup>2</sup>+27x-31'''
</popup>


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