Lösung a) aa)

 <math>y = f_{a}(t) = \frac{2\cdot e^{at}}{e^{at}+29}</math>, <math>t\in R, a\in R, a>0</math>

==Untersuchen sie das Verhalten der Funktionen f<sub>a</sub> für t -> <math>\pm  \infty </math> und geben sie für die Asymptoten Gleichungen an.==

===<u>Verhalten gegen <math>+\infty </math></u>:===
<math>\lim_{t \to \infty } f(t) = \lim_{t \to \infty } \frac{2\cdot e^{at} }{e^{at}+29 } = 2 \cdot \lim_{t \to \infty }\frac{e^{at} }{e^{at}+29 } = 2\cdot 1 = 2</math>

Da stets gilt a > 0, geht der Term <math>\lim_{t \to \infty } e^{at} </math> immer gegen <math>+\infty </math>;
Daraus folgt nun, dass der Term <math>\lim_{t \to \infty } \frac{2\cdot e^{at} }{e^{at}+29 }</math> gegen 1 gehen muss, da 29 im Vergleich zu <math>+\infty </math> verschwinden klein ist.

===<u>Verhalten gegen <math>-\infty </math></u>:===
<math>\lim_{t \to - \infty } f(t) = 2\cdot \lim_{t \to -\infty } \frac{e^{at}}{e^{at}+29 } = 2\cdot \frac{0}{29} = 0</math>

Da stets gilt a > 0, geht der Term <math>\lim_{t \to - \infty } e^{at} </math> immer gegen <math>0</math>; Daraus folgt, dass der Zähler gegen 0 geht und der Nenner gegen 29. Wenn man nun 0 durch 29 teilt, erkennt man, dass der Grenzwert <math>\lim_{t \to -\infty } f(t) </math> gegen 0 geht.