Lösung zur Teilaufgabe a

== LÖSUNG VON TEILAUFGABE a) ==

'''y = f<sub>a</sub> (x) = ( x - a ) e<sup>a + 2 - x</sup>''' mit <math>x\in R</math> ; <math>a\in R</math>

=== 1. ===

==== <math>a)</math> Schnittpunkte mit den Koordinatenachsen ====

<u>'''Nullstellen'''</u>

:f<sub>a</sub> (x) = 0<br />
:( x - a ) e<sup>a + 2 - x</sup> = 0<br />
Da die e-Funktion ( in diesem Fall e<sup>a + 2 - x</sup>) immer streng monoton steigend und immer positiv ist, gibt es nur für ( x - a ) = 0 Nullstellen.
:( x - a ) = 0<br />
:    x - a = 0   / +a<br />
:        x = a<br />

--> NS ( a / 0 )<br />

Für a < 0    NS ( <0 / 0 )<br />
Für a > 0    NS ( >0 / 0 )<br />
Für a = 0    NS ( 0 / 0 )<br />

'''<u>Schnittpunkt mit der y-Achse</u>'''

:( x - a ) e<sup>a + 2 - x</sup> = y    mit x = 0 folgt<br />
:( 0 - a ) e<sup>a + 2 - 0</sup> = y
:-a e<sup>a + 2</sup> = y

-->SP<sub>y-Achse</sub> (0 / -a e<sup>a + 2</sup> )


Für a < 0    SP<sub>y-Achse</sub>( 0 / >0 )<br />
Für a > 0    SP<sub>y-Achse</sub>( 0 / <0 )<br />
Für a = 0    SP<sub>y-Achse</sub>( 0 / 0 )

==== <math>b)</math> lokal Extrempunkte ====

Damit man Extrempunkte einer Funktion finden kann braucht man ihre erste Ableitung

'''y = f<sub>a</sub> (x) = ( x - a ) e<sup>a + 2 - x</sup>'''

Um die erste Ableitung zu bekommen muss man hier die Produktregel verwenden
[[http://de.wikipedia.org/wiki/Produktregel Hilfe zur Produktregel]]

                           f<sub>a</sub><sup>'</sup> (x) = ( x - a ) e<sup>a + 2 - x </sup>( -1 ) + 1 e<sup>a + 2 - x</sup><br />
                                = e<sup>a + 2 - x </sup> (( x - a ) (-1) + 1 )<br />
                                = e<sup>a + 2 - x </sup> ( -x + a + 1 )<br />
                                = e<sup>a + 2 - x </sup> ( 1 + a - x )<br />


Der/Die Extrempunkt/e können an der Stelle liegen, an der die erste Ableitung der Funktion gliech Null ist. Die erste Ableitung einer Funktion zeigt das Steigungsverhalten dieser an. Wenn dieses gleich Null ist, besitzt die Funktion eine waagrechte Tangent an dieser Stelle.
Dass heißt es könnte ein Extrempunkt(Maximum<u>^</u>Hochpunkt und/oder Minimum <u>^</u> Tiefpunkt)auftreten.Dies muss jedoch erst mit der zweiten Ableitung oder mit dem Monotonieverhalten der Funktion überprüft werden, da auch ein Terassenpunktauftreten könnte.


                           f<sub>a</sub><sup>'</sup> (x) = 0     /e<sup>a + 2 - x > 0 <br />
                        ( 1 + a - x ) = 0                        /- 1 - a<br />
                                   -x = -1 + a                   /* (-1)<br />
                                    x = 1 + a
       Möglicher Extrempunkt bei x = 1 + a

                y = f<sub>a</sub> ( 1 + a ) = ( 1 + a - a ) e<sup>a + 2 - ( 1 + a )</sup>  
                                            =  1 e<sup>a + 2 - 1 - a</sup>  
                                            = e^1  = e

       Möglicher Extrempunkt  ( 1 + a / e )


====Überprüfung des Extrempunkts ====

<u>1. Möglichkeit</u>

H-Methode<br />
Vorzeichenwechsel (VZW) des Monotonieverhaltens der Funktion

 f<sub>a</sub><sup>'</sup> ( 1 + a + h ) = ( 1 + a -( 1 + a + h ) e<sup>a + 2 - ( 1 + a + h)</sup> 
                                         = ( 1 + a - 1 - a - h ) e<sup>a + 2 - 1 - a - h</sup> 
                                         = e<sup>1 - h</sup> ( -h )
                                         = -h e<sup>1 - h</sup>
<math>\lim_{h\to\0} </math> f<sub>a</sub><sup>'</sup> ( 1 + a + h ) < 0

--> An der Stelle  f<sub>a</sub><sup>'</sup> ( 1 + a + h ) fällt der Graph



f<sub>a</sub><sup>'</sup> ( 1 + a - h ) = ( 1 + a -( 1 + a - h ) e<sup>a + 2 - ( 1 + a - h)</sup> 
                                         = ( 1 + a - 1 - a + h ) e<sup>a + 2 - 1 - a + h</sup> 
                                         = e<sup>1 + h</sup> ( +h )
                                         = +h e<sup>1 + h</sup>

<math>\lim_{h\to\0} </math> f<sub>a</sub><sup>'</sup> ( 1 + a - h ) > 0

--> An der Stelle  f<sub>a</sub><sup>'</sup> ( 1 + a - h ) steigt der Graph


--> VZW bei x = 1 + a
--> Extrempunkt bei ( 1 + a / e ) Maximum

<u>zur Verdeutlichung</u>






{| class="wikitable centersortable"
|+ Monotonieverhalten
|- style="background: #DDFFDD;"
!
! x<1+a
! 
! x=1+a
! 
! x>1+a
|-
! style="background: #FFDDDD;"|e<sup>a + 2 - x</sup>
| 
| +
| 
| +
| 
|-
! style="background: #FFDDDD;"|
| 
| 
| 
| 
| 
|-
! style="background: #FFDDDD;"|( 1 + a - x )
| 
| +
| 
| -
| 
|-
! style="background: #FFDDDD;"|
| 
| 
| 
| 
| 
|-
! style="background: #FFDDDD;"|f<sub>a</sub><sup>'</sup> ( x )
| 
| +
| 
| -
| 
|}


--> Maximum ( 1 + a / e )



<u>2. Möglichkeit</u>

Überprüfung durch die zweite Ableitung  [[http://de.wikipedia.org/wiki/Produktregel Hilfe zur Produktregel]]


y = f<sub>a</sub> (x) = ( x - a ) e<sup>a + 2 - x</sup>

    f<sub>a</sub><sup>'</sup> (x) = e<sup>a + 2 - x </sup> ( 1 + a - x )<br />

    f<sub>a</sub><sup>''</sup> (x) = e<sup>a + 2 - x </sup> ( 1 + a - x ) ( -1 ) +  ( -1 ) e<sup>a + 2 - x </sup><br />
                                   = -e<sup>a + 2 - x </sup> ( 1 + a - x + 1 )<br />
                                   = e<sup>a + 2 - x </sup> ( x - a - 2 )

Wenn die zweite Ableitung an dem möglichen Extrempunkt größer als Null ist hat man ein Minimum, wenn sie kleiner Null ist ein Maximum, bei gleich Null könnte ein Terrassenpunkt auftreten.

 f<sub>a</sub><sup>''</sup> ( 1 + a ) = e<sup>a + 2 - ( 1 + a ) </sup> ( ( 1 + a ) - a - 2 )
                                      = e<sup>a + 2 - 1 - a </sup> ( -1 )
                                      = e^1 ( -1 ) = <0

          -->  Max ( 1 + a / e )


==== <math>b)</math> Wendepunkte ====

Zweite Ableitung siehe: Überprüfung des Extrempunkts; 2. Möglichkeit

f<sub>a</sub><sup>''</sup> (x) = e<sup>a + 2 - x </sup> ( x - a - 2 )

Um mögl. Wendepunkte zu bestimmen benötigt man die zweite Ableitung

Mögl. Wendepunkte tretten für f<sub>a</sub><sup>''</sup> (x) = 0 auf.

f<sub>a</sub><sup>''</sup> (x) = 0

e<sup>a + 2 - x </sup> ( x - a - 2 ) = 0        / e<sup>a + 2 - x </sup> > 0

  -->    ( x - a - 2 ) = 0                      / + 2 ; + a

          x = a + 2

Möglicher Wendepunkt bei x = a + 2

f<sub>a</sub> ( a + 2 ) = ( a + 2 - a ) e<sup>a + 2 - (a + 2 )</sup>
                        = 2 e<sup>a + 2 - a - 2 )</sup>
                        = 2 e^0
                        = 2

    mög. WP ( a + 2 / 2 )


Überprüfung des Wendepunkts

1. Möglichkeit
H-Methode , VZW des Krümmungsverhaltens

f<sub>a</sub><sup>''</sup> ( a + 2 + - h ) = e<sup>a + 2 - (a + 2 - h )</sup> ( a + 2 - h - a - 2 )
                                           = e<sup>a + 2 - a - 2 + h )</sup>  ( -h )
                                           = e^h ( -h )
                                           = -h e^h
                                           lim h --> 0 ............

f<sub>a</sub><sup>''</sup> ( a + 2 + + h ) = e<sup>a + 2 - (a + 2 + h )</sup> ( a + 2 + h - a - 2 )
                                           = e<sup>a + 2 - a - 2 - h )</sup>  ( h )
                                           = e^h ( h )
                                           = h e^h

                                           lim h --> 0 ............

 
--> VZW bei x = a + 2
--> Wendepunkt bei ( a + 2 / 2 )